Les probabilités
Expérience aléatoire, issues, événements et calcul de probabilités dans des situations d'équiprobabilité.
1. Vocabulaire
Définition · Expérience aléatoire
Une expérience est aléatoire si l'on connaît tous les résultats possibles, appelés issues, sans pouvoir prévoir lequel va se produire.
Définition · Événement
Un événement est constitué d'une ou plusieurs issues. Exemple : « obtenir un nombre pair » avec un dé est réalisé par les issues $2$, $4$, $6$.
2. Probabilité
Propriété · Équiprobabilité
Si toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$$Exemple
Avec un dé équilibré, en notant $A$ l'événement « obtenir un nombre pair » : $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Propriété · Propriétés
- Une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$.
- Un événement impossible a une probabilité de $0$, un événement certain de $1$.
- La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.
- L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, vérifie $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
3. Fréquence et probabilité
Propriété
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
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Exercices corrigés
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Issues
★☆☆On tire une carte au hasard parmi $4$ cartes : as, roi, dame, valet. Quelles sont les issues ? Quelle est la probabilité de tirer le roi ?
Dé
★☆☆On lance un dé équilibré à $6$ faces. Calculer la probabilité d'obtenir : a) $5$ ; b) un multiple de $3$ ; c) un nombre inférieur à $7$ ; d) $0$.
Urne
★★☆Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ vertes et $2$ bleues. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité de chaque couleur.
Événement contraire
★★☆Avec l'urne précédente, calculer la probabilité de ne pas tirer une boule rouge.
Roue
★★☆Une roue est partagée en $8$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $8$. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre premier.
Certain, impossible ?
★☆☆On tire une lettre au hasard dans le mot « MATHS ». Quelle est la probabilité de tirer : une voyelle ? la lettre Z ? une lettre du mot « MATHS » ?
Jeu de cartes
★★☆On tire une carte dans un jeu de $32$ cartes ($4$ couleurs de $8$ cartes). Probabilité de tirer : un cœur ? un roi ? le roi de cœur ?
Probabilité impossible
★☆☆Un élève affirme : « la probabilité qu'il pleuve demain est de $1{,}2$ ». Est-ce possible ?
Fréquence observée
★★☆On lance $200$ fois une pièce et on obtient $108$ fois « pile ». Calculer la fréquence de « pile ». La pièce semble-t-elle truquée ?
Retrouver la composition
★★★Un sac contient des jetons bleus et jaunes. La probabilité de tirer un bleu est $\dfrac{3}{8}$. Il y a $24$ jetons. Combien de jaunes ?
Jeu équitable
★★☆On lance un dé. Alice gagne si le résultat est pair, Bruno s'il est supérieur ou égal à $4$. Le jeu est-il équitable ?
Ajouter des boules
★★★Une urne contient $2$ boules noires et $6$ blanches. Combien de boules noires faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une noire soit $\dfrac{1}{2}$ ?
Événement « ou »
★★☆On lance un dé. Calculer la probabilité d'obtenir « $1$ ou $6$ ».
Loterie
★★☆Dans une loterie de $500$ billets, il y a $25$ billets gagnants. Quelle est la probabilité de gagner avec un billet ? de perdre ?
Comparer deux urnes
★★★Urne A : $3$ rouges et $5$ noires. Urne B : $4$ rouges et $8$ noires. Dans quelle urne a-t-on le plus de chances de tirer une rouge ?
Non équiprobable
★★★Un dé truqué donne $6$ avec une probabilité de $0{,}5$, les autres faces étant équiprobables. Quelle est la probabilité d'obtenir $1$ ?
Vrai ou faux
★★☆a) Si on a obtenu $5$ fois « face », on a plus de chances d'obtenir « pile » au lancer suivant. b) $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. c) Une probabilité peut valoir $\dfrac{3}{4}$.
Deux pièces
★★★On lance deux pièces. Écrire toutes les issues puis calculer la probabilité d'obtenir deux « pile ».
Somme de deux dés
★★★On lance deux dés et on additionne. Combien y a-t-il d'issues (couples) ? Quelle est la probabilité d'obtenir une somme de $12$ ? de $7$ ?
Sac de billes
★★☆Un sac contient $12$ billes : la probabilité de tirer une bille verte est $\dfrac{1}{4}$ et celle de tirer une bille rouge est $\dfrac{1}{3}$. Les autres sont jaunes. Combien y a-t-il de billes de chaque couleur ?
Prévision
★☆☆On lance $600$ fois un dé équilibré. Environ combien de fois peut-on s'attendre à obtenir $4$ ?
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