Prismes droits et cylindres
Décrire, représenter et calculer le volume d'un prisme droit et d'un cylindre.
1. Le prisme droit
Définition · Prisme droit
Un prisme droit a deux bases polygonales superposables et parallèles, et des faces latérales rectangulaires. La hauteur est la distance entre les deux bases.
Définition · Cylindre
Un cylindre de révolution a deux bases qui sont des disques parallèles de même rayon ; sa surface latérale, déroulée, est un rectangle.
2. Patrons
Propriété
Le patron d'un prisme droit est formé des deux bases et d'un rectangle (les faces latérales) dont la longueur est le périmètre de la base. Pour un cylindre, la longueur du rectangle est le périmètre du disque : $2\pi r$.
3. Volume
Propriété · Volume d'un prisme droit ou d'un cylindre
$$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$$
Pour un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : $V = \pi \times r^2 \times h$.
Propriété · Unités
$1\ \text{dm}^3 = 1$ L ; $1\ \text{cm}^3 = 1$ mL ; $1\ \text{m}^3 = 1\,000$ L.
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Exercices corrigés
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Décrire un prisme
★☆☆Un prisme droit a pour base un pentagone. Combien a-t-il de faces, de sommets et d'arêtes ?
Reconnaître
★☆☆Parmi ces objets, lesquels ont une forme de prisme droit ou de cylindre : boîte de conserve, dé, tente canadienne, ballon, crayon hexagonal ?
Volume d'un prisme
★☆☆Un prisme droit a une base d'aire $15\ \text{cm}^2$ et une hauteur de $8$ cm. Calculer son volume.
Base triangulaire
★★☆Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $3$ cm et $4$ cm, et une hauteur de $10$ cm. Calculer son volume.
Volume d'un cylindre
★☆☆Calculer le volume d'un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $10$ cm, arrondi au $\text{cm}^3$.
Canette
★★☆Une canette cylindrique a un diamètre de $6{,}6$ cm et une hauteur de $11{,}5$ cm. Calculer son volume en mL (arrondi à l'unité). Peut-elle contenir $33$ cL ?
Tente
★★☆Une tente a la forme d'un prisme droit à base triangulaire : base de $1{,}8$ m, hauteur du triangle $1{,}2$ m, longueur de la tente $2{,}5$ m. Calculer son volume.
Patron de cylindre
★★☆On veut fabriquer le patron d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $8$ cm. Quelles sont les dimensions du rectangle ?
Aire latérale
★★☆Calculer l'aire latérale d'un prisme droit dont la base est un carré de $5$ cm de côté et la hauteur $12$ cm.
Piscine
★★★Une piscine ronde a un diamètre de $4$ m et on la remplit sur $1{,}2$ m de haut. Combien de litres d'eau faut-il (arrondi à la centaine) ?
Hauteur manquante
★★☆Un prisme droit a un volume de $210\ \text{cm}^3$ et une base de $35\ \text{cm}^2$. Quelle est sa hauteur ?
Conversions
★☆☆Convertir : $2\,500\ \text{cm}^3$ en L ; $0{,}8\ \text{m}^3$ en L ; $45$ cL en $\text{cm}^3$.
Comparer deux boîtes
★★★Boîte A : cylindre de rayon $5$ cm et hauteur $10$ cm. Boîte B : pavé de $9$ cm × $9$ cm × $10$ cm. Laquelle contient le plus ?
Prisme hexagonal
★★★Un crayon a la forme d'un prisme droit à base hexagonale d'aire $0{,}6\ \text{cm}^2$ et de longueur $17{,}5$ cm. Calculer son volume.
Doubler la hauteur
★★☆On double la hauteur d'un cylindre sans changer le rayon. Comment évolue son volume ? Et si on double le rayon sans changer la hauteur ?
Arêtes d'un prisme
★☆☆Un prisme droit a $18$ arêtes. Quelle est la forme de sa base ?
Verre d'eau
★★☆Un verre cylindrique de rayon $3$ cm contient $200$ mL d'eau. Quelle est la hauteur de l'eau ? (arrondie au mm)
Vrai ou faux
★★☆a) Les faces latérales d'un prisme droit sont des rectangles. b) Un cube est un prisme droit. c) Le volume d'un cylindre est $2\pi r h$.
Aquarium
★★☆Un aquarium en forme de prisme droit a une base trapézoïdale d'aire $0{,}12\ \text{m}^2$ et une longueur de $0{,}8$ m. Combien de litres peut-il contenir ?
Tuyau
★★★Un tuyau cylindrique de $2$ cm de rayon intérieur et de $50$ m de long est rempli d'eau. Quel volume d'eau contient-il en litres (arrondi au dixième) ?
Aire totale d'un cylindre
★★★Calculer l'aire totale (deux disques et surface latérale) d'un cylindre de rayon $5$ cm et de hauteur $12$ cm, arrondie au $\text{cm}^2$.
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