Statistiques : moyenne et médiane
Calculer une moyenne pondérée, une médiane et une étendue, et les interpréter.
1. Moyenne
Définition · Moyenne pondérée
Si les valeurs $x_1, x_2, \ldots$ ont pour effectifs $n_1, n_2, \ldots$, la moyenne est :
$$\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots}{n_1 + n_2 + \cdots}$$2. Médiane
Définition · Médiane
La médiane d'une série rangée dans l'ordre croissant est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié supérieures ou égales.
Méthode · Trouver la médiane
- On range les valeurs dans l'ordre croissant.
- Si l'effectif $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N + 1}{2}$.
- Si $N$ est pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.
3. Étendue et interprétation
Définition · Étendue
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur ; elle mesure la dispersion.
Attention · Moyenne ou médiane ?
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, pas la médiane. Pour des salaires très inégaux par exemple, la médiane est souvent plus représentative.
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Exercices corrigés
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Moyenne simple
★☆☆Calculer la moyenne de : $12$ ; $8$ ; $15$ ; $10$ ; $13$ ; $14$.
Médiane (effectif impair)
★☆☆Trouver la médiane de : $14$ ; $9$ ; $17$ ; $11$ ; $12$ ; $20$ ; $8$.
Médiane (effectif pair)
★★☆Trouver la médiane de : $5$ ; $12$ ; $7$ ; $10$ ; $3$ ; $15$.
Étendue
★☆☆Calculer l'étendue des températures : $-2$ ; $5$ ; $8$ ; $-6$ ; $3$ (°C).
Moyenne pondérée
★★☆Notes d'une classe : $8$ (effectif $4$), $11$ (effectif $7$), $14$ (effectif $6$), $17$ (effectif $3$). Calculer la moyenne.
Médiane d'un tableau
★★☆Avec les données de l'exercice précédent ($20$ élèves), trouver la médiane.
Effectifs cumulés
★★☆Pointures de $30$ élèves : $36$ ($3$), $37$ ($5$), $38$ ($9$), $39$ ($8$), $40$ ($5$). Calculer les effectifs cumulés croissants et trouver la médiane.
Salaires
★★☆Salaires mensuels dans une petite entreprise (€) : $1\,700$ ; $1\,800$ ; $1\,800$ ; $1\,900$ ; $2\,000$ ; $2\,100$ ; $8\,500$. Calculer moyenne et médiane. Laquelle est la plus représentative ?
Interpréter la médiane
★☆☆La médiane des tailles d'une classe est $158$ cm. Que peut-on en déduire ?
Diagramme en barres
★★☆Lire le diagramme (nombre de livres lus en un mois par $25$ élèves), puis calculer la moyenne et la médiane.
Valeur manquante
★★★La moyenne de $4$ notes est $11$. Trois notes sont $9$, $13$ et $10$. Quelle est la quatrième ?
Ajouter une valeur
★★★La série $6, 8, 10, 12, 14$ a pour moyenne et médiane $10$. On ajoute la valeur $40$. Que deviennent la moyenne et la médiane ?
Comparer deux classes
★★★Classe A : moyenne $11$, médiane $12$, étendue $8$. Classe B : moyenne $11$, médiane $10$, étendue $16$. Comparer.
Classes de valeurs
★★☆Temps de trajet (min) : $[0 ; 10[$ : $6$ élèves ; $[10 ; 20[$ : $12$ ; $[20 ; 30[$ : $7$. Calculer une moyenne approchée en utilisant le centre des classes.
Fréquences
★★☆Dans une série de $40$ valeurs, la valeur $12$ apparaît $10$ fois. Quelle est sa fréquence en pourcentage ?
Tableur
★★☆Les valeurs sont en A1:A31. Quelles formules donnent la moyenne et la médiane ?
Moyenne trimestrielle
★★☆Sara a obtenu $14$ (coef. $2$), $9$ (coef. $1$), $12$ (coef. $3$) et $16$ (coef. $2$). Calculer sa moyenne.
Construire une série
★★★Donner une série de $5$ notes dont la moyenne est $10$, la médiane $12$ et l'étendue $10$.
Médiane et diagramme
★★☆Un diagramme montre que $50\,\%$ des élèves dorment moins de $8$ h $30$. Quelle est la médiane de la durée de sommeil ?
Erreur de méthode
★☆☆Un élève donne comme médiane de $7, 2, 9, 4, 5$ la valeur du milieu, $9$. Quelle est son erreur ?
Vrai ou faux
★★☆a) La médiane est toujours une valeur de la série. b) La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. c) L'étendue peut être négative.
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