Calcul littéral
Développer, factoriser, identités remarquables et calculs avec des fractions littérales.
1. Développer et réduire
Définition
Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est transformer une somme en produit. Les deux reposent sur la distributivité :
$$k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$2. Identités remarquables
Propriété
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$Exemple
$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ ; $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$ ; $102^2 = (100 + 2)^2 = 10\,404$.
3. Factoriser
Méthode · Facteur commun
On repère un facteur présent dans chaque terme : $(x + 1)(2x - 3) - (x + 1)(x + 4) = (x + 1)\left[(2x - 3) - (x + 4)\right] = (x + 1)(x - 7)$.
Méthode · Identité remarquable
$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ ; $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$ ; $(x + 2)^2 - 9 = (x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = (x - 1)(x + 5)$.
Attention · Les parenthèses
Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes : $-(x + 4) = -x - 4$.
4. Fractions et expressions littérales
Méthode · Réduire au même dénominateur
Pour $x \neq 0$ et $x \neq -1$ : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{(x + 1) + 2x}{x(x + 1)} = \dfrac{3x + 1}{x(x + 1)}$.
Méthode · Démontrer une égalité
Pour montrer que $A = B$, on part de l'un des membres et on le transforme jusqu'à obtenir l'autre, ou on montre que $A - B = 0$.
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Exercices corrigés
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Développer
★☆☆Développer et réduire : $A = 3(2x - 5)$ ; $B = -2x(x - 4)$ ; $C = (x + 3)(2x - 1)$.
Identités remarquables
★☆☆Développer : $(x + 4)^2$ ; $(2x - 3)^2$ ; $(5 - x)(5 + x)$ ; $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2$.
Calcul mental
★☆☆Calculer astucieusement : $99^2$ ; $51^2$ ; $103 \times 97$.
Développer avec un moins
★★☆Développer et réduire : $D = (2x + 1)^2 - (x - 3)(x + 2)$.
Factoriser : facteur commun
★☆☆Factoriser : $E = 6x^2 - 9x$ ; $F = 5(x - 1) + x(x - 1)$ ; $G = (2x + 1)^2 - (2x + 1)(x - 3)$.
Factoriser avec a² ? b²
★★☆Factoriser : $x^2 - 36$ ; $9x^2 - 4$ ; $(x + 1)^2 - 16$ ; $(3x - 2)^2 - (x + 5)^2$.
Reconnaître un carré
★★☆Factoriser : $x^2 + 10x + 25$ ; $9x^2 - 6x + 1$ ; $4x^2 + 20x + 25$.
Double facteur commun
★★★Factoriser $H = (x - 2)(3x + 1) + x^2 - 4$.
Aire d'une allée
★★☆Un jardin carré de côté $x$ m est entouré d'une allée de $1$ m de large. Exprimer l'aire de l'allée en fonction de $x$, sous forme développée.
Programme de calcul
★★☆Programme : choisir un nombre $x$, le multiplier par le nombre suivant $x + 1$, puis ajouter $x + 1$ au résultat. Montrer qu'on obtient toujours le carré de $x + 1$.
Démontrer une égalité
★★☆Montrer que pour tout réel $x$ : $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = 12x$.
Différence de deux carrés consécutifs
★★☆Montrer que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale à leur somme.
Somme de fractions
★★☆Pour $x \neq 0$ et $x \neq 2$, écrire sous forme d'un seul quotient : $\dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x - 2}$.
Simplifier un quotient
★★★Pour $x \neq 3$ et $x \neq -3$, simplifier $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$.
Forme la plus adaptée
★★★Soit $f(x) = (x - 1)^2 - 4$. 1) Développer. 2) Factoriser. 3) Choisir la forme adaptée pour calculer $f(0)$, résoudre $f(x) = 0$ et $f(x) = -4$.
Erreurs à corriger
★☆☆Trouver l'erreur : a) $(x + 2)^2 = x^2 + 4$ ; b) $-(3 - x) = -3 - x$ ; c) $2(x + 5) = 2x + 5$.
Carré magique littéral
★★★Montrer que $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$.
Volume d'une boîte
★★☆Dans un carton carré de $20$ cm de côté, on découpe un carré de $x$ cm à chaque coin, puis on plie pour former une boîte. Exprimer son volume $V(x)$ puis le développer.
Tester une égalité
★☆☆L'égalité $(x + 1)^2 = x^2 + 1$ est-elle vraie pour tout $x$ ? Tester avec $x = 0$ puis $x = 1$.
Nombre astucieux
★★★Sans calculatrice, calculer $A = 2\,025^2 - 2\,024 \times 2\,026$.
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