Variables aléatoires
Variable aléatoire réelle, loi de probabilité, espérance, variance et écart-type, jeux équitables.
1. Variable aléatoire et loi
Définition
Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire (un gain, un nombre de succès…). Donner la loi de $X$, c'est donner ses valeurs $x_i$ et les probabilités $P(X = x_i)$, dont la somme vaut $1$.
Exemple · Un jeu de dé
On lance un dé : on gagne $5$ € avec un $6$, $1$ € avec un $4$ ou un $5$, et on perd $2$ € sinon. Le gain $X$ a pour loi :
| $x_i$ | $-2$ | $1$ | $5$ |
|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
2. Espérance
Définition
$$E(X) = x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \dots + x_n P(X = x_n).$$C'est la moyenne des valeurs de $X$ qu'on obtiendrait sur un très grand nombre de répétitions.
Exemple
Pour le jeu de dé : $E(X) = -2 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{1}{3} + 5 \times \dfrac{1}{6} = -1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$. En moyenne, on gagne environ $0{,}17$ € par partie : le jeu est favorable au joueur.
Définition · Jeu équitable
Un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle.
3. Variance et écart-type
Définition
$$V(X) = \sum P(X = x_i)\,(x_i - E(X))^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$Ils mesurent la dispersion des valeurs autour de l'espérance (le « risque »).
Propriété · Transformation affine
$E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2 V(X)$.
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Exercices corrigés
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Loi de probabilité
★☆☆On lance deux pièces et on note $X$ le nombre de « pile ». Donner la loi de $X$.
Espérance
★☆☆Calculer l'espérance de la variable de l'exercice précédent.
Compléter une loi
★☆☆$X$ prend les valeurs $0, 1, 2, 3$ avec les probabilités $0{,}1$ ; $0{,}3$ ; $a$ ; $0{,}2$. Trouver $a$ puis $E(X)$.
Jeu équitable ?
★★☆Une mise de $2$ € permet de tirer une carte d'un jeu de $32$ : un as rapporte $10$ €, une figure (roi, dame, valet) $4$ €, sinon rien. Le gain algébrique (gain ? mise) est-il en moyenne positif ?
Rendre un jeu équitable
★★☆On lance un dé : on gagne $a$ € avec un $6$ et on perd $1$ € sinon. Quelle valeur de $a$ rend le jeu équitable ?
Variance
★★☆$X$ prend les valeurs $-1$, $0$, $3$ avec les probabilités $0{,}5$ ; $0{,}3$ ; $0{,}2$. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Transformation affine
★★☆$E(X) = 5$ et $V(X) = 4$. Calculer $E(3X - 2)$, $V(3X - 2)$ et $\sigma(3X - 2)$.
Assurance
★★★Une assurance facture $300$ € par an. Elle rembourse $10\,000$ € avec une probabilité $0{,}01$, $1\,000$ € avec une probabilité $0{,}1$, rien sinon. Quel est le bénéfice moyen de l'assureur par contrat ?
Somme de deux dés
★★☆On lance deux dés et $S$ est la somme. Calculer $P(S = 7)$ et $P(S \geq 10)$.
Loterie
★★☆Sur $1\,000$ billets à $2$ €, un rapporte $500$ €, dix rapportent $50$ €, cent rapportent $5$ €. Calculer l'espérance du gain net d'un billet.
Choisir entre deux jeux
★★★Jeu A : gain $X$ d'espérance $2$ et d'écart-type $1$. Jeu B : gain $Y$ d'espérance $2$ et d'écart-type $10$. Comparer.
Nombre de succès
★★☆On tire successivement avec remise deux boules d'une urne contenant $3$ rouges et $2$ bleues. $X$ = nombre de rouges. Loi et espérance ?
Espérance et simulation
★★☆Écrire un programme Python qui simule $10\,000$ parties du jeu de dé du cours et affiche le gain moyen.
Probabilité d'un intervalle
★☆☆Avec la loi de l'exercice « Compléter une loi », calculer $P(X \geq 2)$ et $P(X \lt 3)$.
Commerce
★★☆Un vendeur réalise $0$, $1$ ou $2$ ventes par jour avec les probabilités $0{,}3$ ; $0{,}5$ ; $0{,}2$. Chaque vente rapporte $150$ €. Espérance du gain journalier ?
Variance d'un jeu équitable
★★★Un jeu équitable fait gagner $a$ € avec une probabilité $0{,}25$ et perdre $1$ € sinon. Trouver $a$ et calculer l'écart-type du gain.
Tirage de jetons
★★☆Un sac contient $5$ jetons numérotés $1, 1, 2, 3, 5$. On en tire un ; $X$ est le numéro. Loi et espérance ?
Espérance et moyenne
★☆☆Pourquoi l'espérance d'un gain n'est-elle généralement pas une valeur que l'on peut obtenir en une partie ?
Vrai ou faux
★★☆a) La somme des probabilités d'une loi vaut 1. b) Une espérance ne peut pas être négative. c) $V(X + 5) = V(X)$.
Paris sportifs
★★★Un pari rapporte $3$ fois la mise si l'équipe gagne (mise perdue sinon). L'équipe gagne avec une probabilité $0{,}3$. Pour une mise de $10$ €, calculer l'espérance du gain net. Conclure.
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