Dérivation et variations
Nombre dérivé et tangente, fonction dérivée des polynômes de degré 3 au plus, signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, recherche d'un maximum ou d'un minimum en situation professionnelle.
1. Nombre dérivé et tangente
Définition
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Il mesure la vitesse de variation de $f$ en $a$. Équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
2. Fonctions dérivées usuelles
Propriété · Règles
| $f(x)$ | $k$ (constante) | $x$ | $x^2$ | $x^3$ | $ax + b$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $1$ | $2x$ | $3x^2$ | $a$ |
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées ; $(k \times u)' = k \times u'$. Exemple : $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4$ donne $f'(x) = 6x^2 - 10x$.
3. Sens de variation
Propriété · Signe de la dérivée
Si $f'(x) \gt 0$ sur un intervalle, $f$ est croissante sur cet intervalle ; si $f'(x) \lt 0$, $f$ est décroissante. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, $f$ admet un extremum (maximum ou minimum) en $a$.
Méthode · Étudier les variations
- Calculer $f'(x)$.
- Étudier son signe (factoriser, résoudre $f'(x) = 0$).
- Dresser le tableau de variations et calculer les extremums.
Exemple · Bénéfice maximal
$B(x) = -2x^3 + 9x^2 + 60x$ (en centaines d'euros, $x$ en centaines d'articles, $x \in [0\,;\,7]$). $B'(x) = -6x^2 + 18x + 60 = -6(x - 5)(x + 2)$. Sur $[0\,;\,7]$, $B'$ est positive avant $5$, négative après : maximum $B(5) = 275$.
Activité · Vérifier avec la calculatrice
S'entraîner
Exercices corrigés
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Lire un nombre dérivé
★☆☆La tangente à une courbe au point d'abscisse $2$ passe par $(2\,;\,5)$ et $(4\,;\,9)$. Que vaut $f'(2)$ ?
Tangente horizontale
★☆☆Sur la figure du cours, que vaut le nombre dérivé au maximum de la concentration ?
Dérivée d'un polynôme
★☆☆Dériver $f(x) = 3x^2 - 4x + 7$.
Dérivée de degré 3
★☆☆Dériver $g(x) = x^3 - 6x^2 + 2$.
Dérivée avec coefficients décimaux
★★☆Dériver $h(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 + 4x$.
Calcul d'un nombre dérivé
★☆☆Avec $f(x) = x^2 + 3x$, calculer $f'(1)$.
Équation de tangente
★★☆Équation de la tangente à $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $3$ ?
Signe et variations
★★☆$f'(x) = 2x - 8$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?
Tableau de variations
★★☆Étudier les variations de $f(x) = x^2 - 6x + 1$ sur $[0\,;\,10]$.
Maximum d'une parabole
★★☆Le nombre de visiteurs d'un salon est $V(t) = -3t^2 + 36t$ ($t$ en heures). À quelle heure est-il maximal ?
Vérifier le bénéfice maximal
★★☆Dans l'exemple du cours, vérifier que $B'(5) = 0$ et calculer $B(5)$.
Factoriser la dérivée
★★☆Vérifier que $-6x^2 + 18x + 60 = -6(x - 5)(x + 2)$.
Variations d'une cubique
★★★Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-3\,;\,3]$.
Volume d'une boîte
★★★On découpe des carrés de côté $x$ aux coins d'un carton de $30$ cm pour faire une boîte : $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$. Pour quel $x$ le volume est-il maximal ?
Coût moyen
★★★Le coût de production de $x$ repas est $C(x) = x^2 - 40x + 600$ ($x \in [0\,;\,40]$). Pour quel nombre de repas le coût est-il minimal ?
Vitesse de remplissage
★★☆Le volume d'un réservoir est $V(t) = 2t^2 + 5t$ (L, $t$ en min). Vitesse de remplissage à $t = 3$ min ?
Lecture graphique
★☆☆D'après la figure du bénéfice, sur quel intervalle $B$ est-elle croissante ?
Signe de f'(x) et tangente
★★☆Si $f'(2) = -3$, la fonction est-elle croissante ou décroissante au voisinage de $2$ ? Que dire de la tangente ?
Recette maximale
★★★La recette d'un atelier est $R(x) = -x^3 + 12x^2$ pour $x \in [0\,;\,12]$. Pour quel $x$ est-elle maximale ?
Vrai ou faux
★★☆a) La dérivée de $x^3$ est $3x^2$. b) Si $f'(x) \gt 0$, $f$ est décroissante. c) En un maximum, $f'$ s'annule.
Vérifier
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