Le théorème de Thalès
Calculer des longueurs dans des triangles emboîtés et prouver un parallélisme.
1. Le théorème
Propriété · Théorème de Thalès
Soit deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$. Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors :
$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$Cette configuration peut être « emboîtée » (triangles l'un dans l'autre) ou « en papillon » (de part et d'autre de $A$).
Méthode · Calculer une longueur
$(MN) \parallel (BC)$, $AM = 3$, $AB = 5$, $BC = 8$. Calculer $MN$.
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ donc $\dfrac{3}{5} = \dfrac{MN}{8}$, d'où $MN = \dfrac{3 \times 8}{5} = 4{,}8$.
2. La réciproque
Propriété · Réciproque
Si les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN) \parallel (BC)$.
Attention
Pour la réciproque, on calcule les deux rapports séparément (souvent sous forme décimale ou de fractions simplifiées), puis on compare.
3. Agrandissement et réduction
Propriété
Dans une réduction ou un agrandissement de rapport $k$ : les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
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Exercices corrigés
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Calculer avec Thalès
★☆☆Les points $A, E, B$ et $A, F, C$ sont alignés, $(EF) \parallel (BC)$. $AE = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $AC = 12$ cm. Calculer $AF$.
Parallèles ou non ?
★★☆$R, S, T$ et $R, U, V$ sont alignés dans cet ordre. $RS = 3$, $RT = 7{,}5$, $RU = 4$, $RV = 10$. Les droites $(SU)$ et $(TV)$ sont-elles parallèles ?
Hauteur d'un arbre
★★★Un bâton vertical de $1{,}5$ m a une ombre de $2$ m. Au même moment, l'ombre d'un arbre mesure $12$ m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Écrire les rapports
★☆☆Les points $A, D, B$ et $A, E, C$ sont alignés et $(DE) \parallel (BC)$. Écrire l'égalité des rapports de Thalès.
Calculer deux longueurs
★★☆Dans la figure, $(MN) \parallel (BC)$, $AM = 6$, $AB = 9$, $AN = 4$, $BC = 12$. Calculer $AC$ et $MN$.
Configuration papillon
★★☆Les droites $(MB)$ et $(NC)$ se coupent en $A$, $(MN) \parallel (BC)$. $AM = 2$, $AB = 5$, $BC = 7{,}5$. Calculer $MN$.
Réciproque (non parallèles)
★★☆$A, M, B$ et $A, N, C$ alignés dans cet ordre. $AM = 3$, $AB = 8$, $AN = 4$, $AC = 10$. $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Réciproque (parallèles)
★★☆$AM = 4{,}2$, $AB = 7$, $AN = 3$, $AC = 5$ (points alignés dans le même ordre). Conclure.
Largeur d'une rivière
★★★Pour mesurer la largeur $AB$ d'une rivière, on place des repères tels que $(BC) \parallel (DE)$ comme sur la figure. Calculer $AB$.
Rapport de réduction
★☆☆Un triangle de côtés $6$, $8$, $10$ cm est réduit de rapport $\dfrac{1}{2}$. Donner les nouvelles longueurs et comparer les aires.
Maquette
★★☆Une maquette d'avion est à l'échelle $\dfrac{1}{50}$. L'avion réel a une surface d'aile de $125\ \text{m}^2$. Quelle est la surface de l'aile sur la maquette ?
Volume agrandi
★★☆Une boîte de $2$ L est agrandie de rapport $1{,}5$. Quel est son nouveau volume ?
Longueur manquante
★★☆$(EF) \parallel (GH)$, $A$ commun. $AE = 5$, $AG = 8$, $EF = 3$. Calculer $GH$.
Triangles semblables
★★★Deux triangles ont des côtés $4$, $6$, $7$ et $10$, $15$, $17{,}5$. Sont-ils semblables (côtés proportionnels) ?
Ordre des points
★★☆Pourquoi faut-il vérifier que les points sont alignés « dans le même ordre » pour utiliser la réciproque ?
Tour et poteau
★★★Un poteau de $2$ m, placé à $30$ m d'une tour, cache exactement le sommet de la tour pour un observateur couché à $5$ m du poteau (le poteau est entre l'observateur et la tour). Quelle est la hauteur de la tour ?
Parallèle à un côté
★★☆Dans $ABC$, $AB = 12$, $AC = 9$. On place $M$ sur $[AB]$ avec $AM = 4$ et on trace la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ ; elle coupe $[AC]$ en $N$. Calculer $AN$.
Aire d'une réduction
★★★Dans la configuration précédente, l'aire de $ABC$ vaut $36\ \text{cm}^2$. Quelle est l'aire de $AMN$ ?
Coefficient d'agrandissement
★☆☆Un carré de $3$ cm de côté devient un carré de $7{,}5$ cm de côté. Quel est le rapport d'agrandissement ?
Échelle et Thalès
★★☆Une photo de $10$ cm × $15$ cm est agrandie en $30$ cm de large (sur le côté de $10$ cm). Quelle est la nouvelle longueur ?
Vrai ou faux
★★☆a) Thalès s'applique seulement aux triangles rectangles. b) Si on double les longueurs, l'aire double. c) La réciproque permet de prouver un parallélisme.
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