Probabilités
Univers, événements, loi de probabilité, calculs avec tableaux et arbres, réunion et intersection.
1. Vocabulaire
Définition
- Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, les issues, sans qu'on puisse prévoir lequel se produira.
- L'univers $\Omega$ est l'ensemble des issues.
- Un événement est une partie de l'univers.
- L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est formé des issues qui ne réalisent pas $A$.
Définition · Loi de probabilité
Définir une loi de probabilité sur $\Omega = \{x_1, \dots, x_n\}$, c'est associer à chaque issue $x_i$ un nombre $p_i \geq 0$ avec $p_1 + \dots + p_n = 1$. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
2. Équiprobabilité
Propriété
Si toutes les issues ont la même probabilité (équiprobabilité) :
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$$3. Réunion, intersection, contraire
Définition
$A \cap B$ (« A et B ») est réalisé quand $A$ et $B$ le sont tous les deux ; $A \cup B$ (« A ou B ») quand l'un au moins l'est. $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \varnothing$.
Propriété · Propriétés
- $0 \leq P(A) \leq 1$ ; $P(\Omega) = 1$ ; $P(\varnothing) = 0$.
- $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
4. Expériences à plusieurs épreuves
Méthode · Arbre ou tableau
Pour deux lancers de dé, un tableau à double entrée liste les $36$ issues. Pour des tirages successifs, un arbre permet de dénombrer les issues ; on multiplie les probabilités le long d'un chemin.
Exemple · Deux lancers d'une pièce
Issues : PP, PF, FP, FF. $P(\text{au moins un pile}) = 1 - P(\text{FF}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
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Exercices corrigés
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Carte au hasard
★☆☆On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Calculer la probabilité de tirer : a) un cœur ; b) un roi ; c) le roi de cœur ; d) un cœur ou un roi.
Somme de deux dés
★★☆On lance deux dés équilibrés et on fait la somme. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ?
Tirages sans remise
★★★Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire successivement 2 boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
Loi de probabilité
★☆☆Un dé truqué donne : $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 0{,}15$. Calculer $P(6)$ puis la probabilité d'obtenir un nombre pair.
Événement contraire
★☆☆La probabilité qu'un avion soit en retard est $0{,}12$. Quelle est la probabilité qu'il soit à l'heure ?
Au moins un six
★★☆On lance deux dés. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un $6$ ?
Tableau à double entrée
★★☆Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font de l'anglais, $12$ de l'espagnol et $5$ font les deux. Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard fasse de l'anglais ou de l'espagnol. Tous les élèves étudient-ils l'une de ces langues ?
Incompatibles ?
★☆☆On lance un dé. $A$ : « obtenir un nombre pair » ; $B$ : « obtenir 1 ou 3 » ; $C$ : « obtenir au moins 4 ». Quels événements sont incompatibles ?
Tirages avec remise
★★☆Une urne contient $4$ boules vertes et $6$ jaunes. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Calculer $P(\text{deux vertes})$ et $P(\text{deux boules de couleurs différentes})$.
Code à deux chiffres
★★☆Un cadenas a un code de deux chiffres (de 00 à 99). Quelle est la probabilité de trouver le code au premier essai ? Qu'il soit formé de deux chiffres identiques ?
Loterie
★★☆Sur $500$ billets, $1$ gagne $100$ €, $10$ gagnent $20$ € et $50$ gagnent $2$ €. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose ? De gagner au moins $20$ € ?
Famille de trois enfants
★★★On suppose qu'une naissance donne une fille ou un garçon avec la même probabilité. Dans une famille de $3$ enfants, quelle est la probabilité d'avoir exactement $2$ filles ? Au moins une fille ?
Somme la plus probable
★★☆En lançant deux dés, quelle somme a la plus grande probabilité ? La plus petite ?
Test de dépistage
★★★Sur $10\,000$ personnes, $2\,\%$ sont malades. Le test est positif pour $95\,\%$ des malades et pour $3\,\%$ des personnes saines. Compléter un tableau d'effectifs et calculer la probabilité qu'une personne testée positive soit malade.
Roue de loterie
★☆☆Une roue est partagée en $8$ secteurs égaux : $3$ rouges, $4$ bleus, $1$ jaune. Donner la loi de probabilité de la couleur obtenue.
Réunion avec des données
★★☆$P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cup B) = 0{,}7$. Calculer $P(A \cap B)$.
Tirage de deux cartes
★★★On tire successivement et sans remise deux cartes d'un jeu de $32$. Quelle est la probabilité de tirer deux as ?
Jeu équitable ?
★★☆On lance un dé : si on obtient $6$, on gagne $4$ € ; sinon on perd $1$ €. Sur un grand nombre de parties, gagne-t-on de l'argent ?
Vrai ou faux
★★☆a) Une probabilité peut valoir $1{,}2$. b) Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. c) $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
Simulation
★★☆Pour simuler le lancer d'un dé avec un tableur, on utilise =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6). Sur $600$ lancers simulés, environ combien de $6$ attend-on ?
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