Suites arithmétiques et géométriques

1. On définit $u_n = n^2 - 3n$ pour tout entier $n$. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_5$ et $u_{10}$.

2. On définit $v_0 = 5$ et $v_{n+1} = 3v_n - 4$. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

3. Peut-on calculer $u_{10}$ et $v_{10}$ de la même façon ? Expliquer.

Les quatre premiers termes de chaque suite sont donnés. Dire si la suite semble arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre, en précisant la raison.

a) $7\,;\,11\,;\,15\,;\,19$    b) $2\,;\,6\,;\,18\,;\,54$    c) $1\,;\,4\,;\,9\,;\,16$    d) $80\,;\,60\,;\,45\,;\,33{,}75$

$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0 = -6$ et de raison $r = 2{,}5$.

1. Calculer $u_1$, $u_{10}$ et $u_{40}$.

2. Donner le sens de variation de la suite.

3. Quel est le rang $n$ du terme égal à $69$ ?

$(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_5 = 23$ et $u_{12} = 51$.

1. Calculer la raison $r$.

2. En déduire $u_0$, puis l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer $u_{50}$.

Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Justifier.

a) $u_n = 7 - 3n$    b) $v_n = n^2 + 1$    c) $w_0 = 2$ et $w_{n+1} = w_n - 0{,}4$

1. $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $q = 3$. Calculer $u_1$, $u_4$ et $u_8$. Quel est son sens de variation ?

2. $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 640$ et de raison $q = 0{,}5$. Calculer $v_1$ et $v_6$. Quel est son sens de variation ?

$(u_n)$ est une suite géométrique telle que $u_1 = 6$ et $u_4 = 162$.

1. Déterminer la raison $q$.

2. En déduire $u_0$ et l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer $u_7$.

Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Justifier.

a) $u_n = 4 \times 5^n$    b) $v_n = 3 \times 2^{n+1}$    c) $w_n = 2n + 1$

1. Donner la raison $q$ de la suite géométrique associée à chaque évolution répétée : a) $+8\,\%$ ; b) $-25\,\%$ ; c) $+150\,\%$ ; d) $-3\,\%$.

2. Inversement, quelle évolution en pourcentage correspond à : a) $q = 1{,}035$ ; b) $q = 0{,}82$ ; c) $q = 2$ ?

On a représenté les cinq premiers termes de deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$, pour $n$ allant de $0$ à $4$.

1. Lire les valeurs de $u_0, \dots, u_4$ et de $v_0, \dots, v_4$.

2. L'une des suites est arithmétique, l'autre géométrique. Lesquelles ? Préciser leurs raisons.

3. Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{10}$ et $v_{10}$.

Une salle possède $22$ rangées de gradins. La première rangée compte $18$ places, et chaque rangée compte $3$ places de plus que la précédente. On note $u_n$ le nombre de places de la rangée $n$ ($u_1 = 18$).

1. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Combien de places compte la dernière rangée ?

3. Quelle est la capacité totale de la salle ?

Calculer sans tout additionner :

a) $S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 200$ ;   b) $S_2 = 2 + 4 + 6 + \dots + 200$ ;   c) $S_3 = 1 + 3 + 5 + \dots + 99$.

Calculer :

a) $S_1 = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{15}$ ;   b) $S_2 = 5 + 15 + 45 + \dots + 5 \times 3^7$.

Un laboratoire suit chaque jour deux populations d'insectes $X$ et $Y$. Le premier jour, chacune compte $40$ individus.

• La population $X$ augmente de $12$ insectes par jour : $x_n$ (nombre d'insectes le $n$-ième jour) est arithmétique avec $x_1 = 40$.
• La population $Y$ augmente de $8\,\%$ par jour : $y_n$ est géométrique avec $y_1 = 40$.

1. Exprimer $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.

2. Quelle population est la plus grande au bout de $15$ jours ? de $30$ jours ?

3. À partir de quel jour la population $Y$ dépasse-t-elle la population $X$ ?

Dans des conditions idéales, une bactérie se divise en deux toutes les $30$ minutes. On part d'une seule bactérie et on note $b_n$ le nombre de bactéries après $n$ périodes de $30$ minutes ($b_0 = 1$).

1. Combien y a-t-il de bactéries après $1$ heure ? après $2$ heures ?

2. Justifier que $(b_n)$ est géométrique et exprimer $b_n$ en fonction de $n$.

3. Au bout de combien de temps la population dépasse-t-elle un million de bactéries ?

On injecte à un patient $2$ cm³ d'un produit calmant. Chaque heure, l'organisme élimine $15\,\%$ du produit présent. On note $v_n$ le volume (en cm³) restant après $n$ heures, avec $v_0 = 2$.

1. Calculer $v_1$ et $v_2$.

2. Justifier que $(v_n)$ est géométrique et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

3. Le produit n'agit plus lorsque le volume restant est inférieur à $0{,}4$ cm³ ($400$ mm³). Au bout de combien d'heures le produit devient-il inefficace ?

Un lave-linge est acheté $720$ €. L'assureur applique une réduction pour vétusté de $12\,\%$ par an : la valeur « remboursable » baisse donc de $12\,\%$ chaque année. On note $v_n$ cette valeur $n$ années après l'achat ($v_0 = 720$).

1. Calculer les valeurs remboursables des trois années suivant l'achat.

2. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer la valeur au bout de $8$ ans.

4. Au bout de combien d'années la valeur devient-elle inférieure à $100$ € ?

Une machine émet un son d'intensité $90$ dB. On place devant elle des plaques d'isolation ; chaque plaque absorbe $15\,\%$ de l'intensité qui lui parvient. On note $u_n$ l'intensité (en dB) après la traversée de $n$ plaques ($u_0 = 90$).

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite et l'expression de $u_n$.

3. Combien faut-il de plaques pour que l'intensité devienne inférieure à $1$ dB ?

Pendant les six jours précédant les fêtes, un pâtissier voit ses commandes de bûches augmenter de $8$ par jour et ses ventes de ballotins de chocolats doubler chaque jour. Le premier jour, il reçoit $25$ commandes de bûches et vend $15$ ballotins.

On note $u_n$ le nombre de commandes de bûches et $v_n$ le nombre de ballotins vendus le $n$-ième jour ($u_1 = 25$, $v_1 = 15$).

1. Montrer que $(u_n)$ est arithmétique et calculer le nombre total de commandes de bûches sur les six jours.

2. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et calculer le nombre total de ballotins vendus sur les six jours.

Une citerne contient $1\,200$ litres d'eau. Chaque jour, le jardinier utilise le tiers de l'eau restante. On note $u_n$ le volume (en L) restant après $n$ jours ($u_0 = 1\,200$).

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.

2. Montrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Après combien de jours restera-t-il moins de $1$ litre dans la citerne ?

On compare deux suites : $(u_n)$ arithmétique avec $u_0 = 150$ et $r = 12$, et $(v_n)$ géométrique avec $v_0 = 150$ et une hausse de $6\,\%$ à chaque rang. On utilise la feuille de calcul suivante :

1. Quelles formules écrire en B3 et en C3 pour obtenir les termes suivants par recopie vers le bas ?

2. Quelles valeurs s'affichent en B12 et en C12 (arrondies au centième) ?

3. À partir de quel rang $v_n$ dépasse-t-il $u_n$ ?

4. Quelle formule permet de calculer en B14 la somme $u_0 + u_1 + \dots + u_{11}$ ?

On considère l'algorithme suivant :

u = 3000
n = 0
while u > 1000:
    u = u * 0.92
    n = n + 1
print(n)

1. Quelle suite cet algorithme calcule-t-il ? Donner son premier terme, sa raison et l'évolution en pourcentage correspondante.

2. Que représente la valeur affichée ?

3. Déterminer cette valeur à la calculatrice.

Un locataire hésite entre deux logements.

• Logement A : loyer mensuel de $600$ € la 1ʳᵉ année, puis augmentation de $15$ € par an.
• Logement B : loyer mensuel de $580$ € la 1ʳᵉ année, puis augmentation de $4\,\%$ par an.

On note $a_n$ et $b_n$ les loyers mensuels de la $n$-ième année.

1. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.

2. À partir de quelle année le loyer B devient-il plus cher que le loyer A ?

3. Quel logement coûte le moins cher au total sur $10$ ans ?

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a) La suite $u_n = 3n + 2$ est arithmétique de raison $3$.

b) Une baisse de $20\,\%$ par an correspond à une suite géométrique de raison $0{,}2$.

c) Si $u_0 = 10$ et $q = 1{,}1$, alors $u_2 = 12$.

d) $1 + 2 + \dots + 10 = 55$.

e) Les points représentant une suite géométrique de raison $2$ sont alignés.