∑ Spécialité Mathématiques Première Générale · Chapitre 3

Les suites numériques

Définition d'une suite, modes de génération explicite et par récurrence, représentations graphiques, sens de variation et notion de limite.

1. Qu'est-ce qu'une suite ?

Une suite est une liste ordonnée de nombres : le nombre d'habitants d'une ville chaque année, le solde d'un compte chaque mois, la hauteur d'une balle à chaque rebond…

Définition

Une suite numérique $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$ (ou terme d'indice $n$). $u_0$ est le premier terme (on commence parfois à $u_1$).

Attention · Notations

Ne pas confondre $u_{n+1}$ (le terme qui suit $u_n$) et $u_n + 1$ (le terme $u_n$ augmenté de $1$).

2. Deux façons de définir une suite

Définition · Définition explicite

$u_n$ est donné directement en fonction de $n$ : $u_n = f(n)$. Exemple : $u_n = 3n^2 - 1$ donne $u_0 = -1$, $u_1 = 2$, $u_{10} = 299$. On peut calculer n'importe quel terme directement.

Définition · Définition par récurrence

On donne le premier terme et une relation pour passer d'un terme au suivant : $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 1$ donne $u_1 = 5$, $u_2 = 14$, $u_3 = 41$. Pour obtenir $u_{10}$, il faut calculer tous les termes précédents.

Méthode · Calculer des termes en Python

u = 2
for n in range(10):
    u = 3 * u - 1
print(u)    # u10

3. Représentation graphique

Propriété · Nuage de points

On place les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$. Attention, on ne relie pas les points : une suite n'est définie que pour des entiers.

Nuage de points de la suite u(n) = 10 × 0,8? : décroissante, ses termes se rapprochent de 0.

Propriété · Suite récurrente : représentation en escalier

Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe (on lit $u_1$), puis on se reporte sur la droite $y = x$ pour ramener $u_1$ sur l'axe des abscisses, et ainsi de suite.

u? = 0,5 et u(n+1) = 0,5 u(n) + 2 : l'escalier monte vers le point d'intersection, les termes se rapprochent de 4.

4. Sens de variation

Définition

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.

Méthode · Étudier le sens de variation

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ (méthode générale).
Si tous les termes sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
Si $u_n = f(n)$, utiliser les variations de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

Exemple

$u_n = n^2 + n$ : $u_{n+1} - u_n = (n + 1)^2 + (n + 1) - n^2 - n = 2n + 2 \gt 0$ : la suite est croissante.

5. Notion de limite

Propriété

Une suite peut avoir une limite finie $\ell$ (ses termes se rapprochent autant qu'on veut de $\ell$ : $10 \times 0{,}8^n$ tend vers $0$), une limite infinie ($n^2$ tend vers $+\infty$), ou pas de limite ($(-1)^n$ oscille).

Méthode · Algorithme de seuil

Pour trouver le premier rang $n$ tel que $10 \times 0{,}8^n \lt 0{,}1$ :

n = 0
u = 10
while u >= 0.1:
    n = n + 1
    u = 0.8 * u
print(n)    # 21

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Suite arithmétique

★☆☆

$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $3$. Calculer $u_{10}$ et $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$.