Le produit scalaire
Définitions du produit scalaire (norme et angle, projeté orthogonal, coordonnées), orthogonalité, propriétés, formule d'Al-Kashi.
1. Définitions
Définition · Avec les normes et l'angle
Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$. Si l'un est nul, le produit scalaire est nul. Le résultat est un nombre, pas un vecteur.
Définition · Avec le projeté orthogonal
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$, qui vaut $AB \times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens, $-AB \times AH$ sinon.
Définition · Avec les coordonnées
Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$. En particulier $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 = x^2 + y^2$.
2. Orthogonalité
Propriété
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Ainsi $(AB) \perp (CD) \iff \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$.
3. Propriétés et formules
Propriété · Règles de calcul
Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$. Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
Propriété · Identités
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ ; $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.
Propriété · Formule d'Al-Kashi
Dans un triangle $ABC$ avec $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$. C'est une généralisation du théorème de Pythagore (si $\widehat{A} = 90°$, $\cos\widehat{A} = 0$).
Exemple
$AB = 5$, $AC = 8$, $\widehat{A} = 60°$ : $BC^2 = 64 + 25 - 2 \times 8 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 49$, donc $BC = 7$.
Propriété · Travail d'une force (lien avec la physique)
Le travail d'une force constante $\vec{F}$ sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$ est $W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\theta$.
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Calcul en coordonnées
★☆☆Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Que peut-on en conclure ?
Avec l'angle
★★☆$\|\vec{u}\| = 4$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ puis $\|\vec{u} + \vec{v}\|$.
Al-Kashi
★★★Dans un triangle $ABC$, $AB = 7$, $AC = 5$ et $\widehat{A} = 60^\circ$. Calculer $BC$.
Avec les normes
★☆☆$\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ si l'angle entre eux vaut : a) $0$ ; b) $\dfrac{\pi}{3}$ ; c) $\dfrac{\pi}{2}$ ; d) $\dfrac{2\pi}{3}$.
Coordonnées
★☆☆Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : a) $\vec{u}(1\,;\,3)$, $\vec{v}(4\,;\,-2)$ ; b) $\vec{u}(-2\,;\,5)$, $\vec{v}(5\,;\,2)$.
Projeté orthogonal
★★☆$ABCD$ est un carré de côté $4$. Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.
Triangle équilatéral
★★☆$ABC$ est équilatéral de côté $6$. Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$.
Angle entre deux vecteurs
★★☆Calculer l'angle entre $\vec{u}(1\,;\,1)$ et $\vec{v}(0\,;\,2)$.
Triangle rectangle ?
★★☆$A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(0\,;\,5)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
Paramètre
★★☆Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(m\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,-6)$ sont-ils orthogonaux ?
Al-Kashi : longueur
★★☆$AB = 6$, $AC = 10$, $\widehat{A} = 120°$. Calculer $BC$.
Al-Kashi : angle
★★☆Un triangle a pour côtés $5$, $7$ et $8$. Calculer l'angle opposé au côté de longueur $7$.
Norme d'une somme
★★☆$\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$. Calculer $\|\vec{u} + \vec{v}\|$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\|$.
Développer
★★☆Développer $(\vec{u} + 2\vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ avec $\|\vec{u}\| = 1$, $\|\vec{v}\| = 2$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$.
Travail d'une force
★★☆Un enfant tire une luge avec une force de $50$ N faisant un angle de $30°$ avec l'horizontale, sur $20$ m. Calculer le travail de cette force.
Médianes
★★★$I$ est le milieu de $[BC]$. Démontrer que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.
Hauteur
★★★$A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$, $C(2\,;\,4)$. Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ de deux façons (coordonnées puis projeté orthogonal).
Distance entre points
★☆☆Calculer $AB$ avec $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$ pour $A(-1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$.
Angle dans un triangle
★★★$A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,1)$, $C(3\,;\,5)$. Calculer $\cos\widehat{BAC}$ puis une valeur approchée de l'angle.
Vrai ou faux
★★☆a) Le produit scalaire de deux vecteurs est un vecteur. b) Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, l'un des deux est nul. c) $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
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