La fonction exponentielle
Définition de la fonction exponentielle, propriétés algébriques, variations, courbe, fonctions t ? e^(kt) et lien avec les suites géométriques.
1. Définition
Définition
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. C'est la fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, avec $e = \exp(1) \approx 2{,}718$.
Propriété · Propriétés algébriques
Pour tous réels $a$, $b$ et tout entier $n$ :
- $e^{a + b} = e^a \times e^b$ ; $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ ; $e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ ; $(e^a)^n = e^{na}$.
- $e^0 = 1$ et $e^x \gt 0$ pour tout $x$.
On retrouve les règles des puissances.
2. Étude de la fonction
Propriété
- $(e^x)' = e^x \gt 0$ : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a \lt e^b \iff a \lt b$.
- La tangente en $0$ a pour équation $y = x + 1$.
3. Fonctions t ? e^(kt)
Propriété
Pour un réel $k$, $(e^{kt})' = k\,e^{kt}$. Si $k \gt 0$, $t \mapsto e^{kt}$ est croissante (croissance exponentielle) ; si $k \lt 0$, elle est décroissante (décroissance exponentielle, comme la décharge d'un condensateur ou la désintégration radioactive).
Propriété · Lien avec les suites géométriques
Pour tout réel $a$, la suite $u_n = e^{na}$ est géométrique de raison $e^a$, car $e^{(n+1)a} = e^{a} \times e^{na}$.
Exemple · Refroidissement
La différence de température entre un café et la pièce est $D(t) = 60e^{-0{,}05t}$ ($t$ en minutes). Au bout de $20$ min : $D(20) = 60e^{-1} \approx 22\,{}^\circ\text{C}$.
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Exercices corrigés
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Simplifier
★☆☆Simplifier : $A = e^{2} \times e^{-5}$ ; $B = \dfrac{e^{3x+1}}{e^{x-1}}$.
Résoudre
★★☆Résoudre : a) $e^{2x-3} = e^{x}$ ; b) $e^{x+1} \geq 1$.
Dériver
★★☆Dériver $f(x) = x e^x$ et étudier ses variations.
Simplifier (1)
★☆☆Écrire sous la forme $e^{a}$ : $e^3 \times e^{-5}$ ; $\dfrac{e^{7}}{e^{2}}$ ; $(e^{-2})^3$ ; $\dfrac{1}{e^{4}}$.
Simplifier (2)
★★☆Simplifier $A = \dfrac{e^{2x} \times e^{3 - x}}{e^{x + 1}}$ et $B = (e^x + e^{-x})^2$.
Équations
★☆☆Résoudre : a) $e^{3x - 1} = e^{x + 5}$ ; b) $e^{x^2} = e^{4}$ ; c) $e^{x} = 1$.
Inéquations
★★☆Résoudre : a) $e^{2x} \lt e^{x + 3}$ ; b) $e^{-x} \geq 1$.
Équation se ramenant au second degré
★★★Résoudre $e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0$ (poser $X = e^x$).
Dériver des exponentielles
★☆☆Dériver : $f(x) = 3e^x - x^2$ ; $g(x) = e^{-2x}$ ; $h(x) = e^{5x + 1}$.
Dériver un produit et un quotient
★★☆Dériver $f(x) = (2x - 1)e^x$ et $g(x) = \dfrac{e^x}{x}$ ($x \neq 0$).
Variations
★★☆Étudier les variations de $f(x) = (x - 2)e^x$ sur $\mathbb{R}$.
Tangente
★★☆Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = e^x$ au point d'abscisse $1$.
Signe
★☆☆Étudier le signe de $(3 - x)e^{2x}$.
Décroissance radioactive
★★☆Le nombre de noyaux d'un échantillon est $N(t) = 10^6 \times e^{-0{,}1t}$ ($t$ en jours). Calculer $N(0)$, $N(10)$ et étudier le sens de variation de $N$.
Suite géométrique
★★☆Montrer que la suite $u_n = e^{-0{,}5n}$ est géométrique. Préciser sa raison et son sens de variation.
Croissance bactérienne
★★☆Une population de bactéries vérifie $P(t) = 500e^{0{,}2t}$ ($t$ en heures). Par combien est-elle multipliée chaque heure ? Au bout de combien d'heures dépasse-t-elle $5\,000$ (calculatrice) ?
Inégalité
★★★Montrer que pour tout réel $x$ : $e^x \geq x + 1$. (Étudier $g(x) = e^x - x - 1$.)
Fonction gaussienne
★★★Étudier les variations de $f(x) = e^{-x^2}$.
Valeurs approchées
★☆☆Donner à la calculatrice des valeurs approchées au centième de $e$, $e^2$, $e^{-1}$ et $\sqrt{e}$.
Vrai ou faux
★★☆a) $e^{a} + e^{b} = e^{a + b}$. b) $e^{x} \gt 0$ pour tout $x$. c) $(e^{3x})' = e^{3x}$. d) $e^{-x}$ est décroissante.
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