Logarithme décimal
Logarithme décimal : définition, propriétés algébriques, variations, résolution de q? = a et d'inéquations, seuils, applications (pH, décibels, échelle de Richter).
1. Définition
Définition
Pour tout réel $a \gt 0$, l'équation $10^x = a$ a une unique solution, notée $\log a$ : le logarithme décimal de $a$. Ainsi $10^{\log a} = a$ et $\log(10^x) = x$. Par exemple $\log 1 = 0$, $\log 10 = 1$, $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$.
Propriété · Propriétés
Pour $a \gt 0$, $b \gt 0$ et $x$ réel : $\log(ab) = \log a + \log b$ ; $\log\dfrac{a}{b} = \log a - \log b$ ; $\log\dfrac{1}{a} = -\log a$ ; $\log(a^x) = x\log a$.
Propriété · Variations
$\log$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\log a \lt \log b \iff a \lt b$. $\log x \lt 0$ pour $0 \lt x \lt 1$ et $\log x \gt 0$ pour $x \gt 1$.
2. Résoudre q? = a
Méthode
Pour $q \gt 0$ ($q \neq 1$) et $a \gt 0$ : $q^x = a \iff x\log q = \log a \iff x = \dfrac{\log a}{\log q}$.
Exemple : un capital placé à $4\,\%$ double quand $1{,}04^n = 2$, soit $n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}04} \approx 17{,}7$ : au bout de $18$ ans.
Attention · Inéquations
Si $0 \lt q \lt 1$, $\log q \lt 0$ : diviser par $\log q$ change le sens de l'inégalité. $0{,}8^n \lt 0{,}1 \iff n \gt \dfrac{\log 0{,}1}{\log 0{,}8} \approx 10{,}3$.
3. Échelles logarithmiques
Exemple
- pH : $\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]$.
- Niveau sonore : $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ (dB), $I_0 = 10^{-12}$ W/m².
- Magnitude d'un séisme : une magnitude de plus correspond à une amplitude $10$ fois plus grande.
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Exercices corrigés
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Valeurs usuelles
★☆☆Calculer sans calculatrice : $\log 100$ ; $\log 0{,}001$ ; $\log 10^{-5}$.
Niveau sonore
★★☆Un son a une intensité $I = 10^{-4}$ W/m². Calculer son niveau sonore. Que devient-il si deux sources identiques fonctionnent ensemble ?
Concentration à partir du pH
★★☆Le pH d'une urine vaut $6{,}2$. Calculer $[\text{H}_3\text{O}^+]$.
Définition du logarithme
★☆☆Calculer $\log 1\,000$, $\log 0{,}01$, $10^{\log 7}$ et $\log(10^{2{,}5})$.
Propriété du produit
★☆☆Sachant que $\log 2 \approx 0{,}301$, calculer $\log 20$, $\log 200$ et $\log 0{,}2$.
Simplifier une somme
★★☆Simplifier $\log 50 + \log 2$ et $\log 500 - \log 5$.
Résoudre 10? = a
★☆☆Résoudre $10^x = 5$ et $10^x = 0{,}002$.
Résoudre q? = a
★★☆Résoudre $1{,}05^x = 2$.
Doublement d'un capital
★★☆Au bout de combien d'années un capital placé à $4\,\%$ par an double-t-il ?
Seuil d'élimination
★★☆Un médicament perd $20\,\%$ par heure. Au bout de combien d'heures en reste-t-il moins de $10\,\%$ ?
Calculer un pH
★☆☆$[\text{H}_3\text{O}^+] = 3{,}2 \times 10^{-5}$ mol/L. pH ?
Comparer deux pH
★★☆Une solution A a un pH de $3{,}5$, une solution B un pH de $5{,}5$. Combien de fois A est-elle plus concentrée en ions $\text{H}_3\text{O}^+$ ?
Intensité à partir du niveau
★★☆Un niveau sonore vaut $75$ dB. Intensité ?
Diviser l'intensité par 100
★★☆Un mur divise l'intensité sonore par $100$. Variation du niveau sonore ?
Magnitude d'un séisme
★★☆Un séisme de magnitude $6$ a une amplitude combien de fois plus grande qu'un séisme de magnitude $4$ ?
Signe du logarithme
★☆☆Donner le signe de $\log 0{,}3$, $\log 1$ et $\log 7$.
Inéquation logarithmique
★★☆Résoudre $\log x \gt 2$ puis $\log x \leq -1$.
Nombre de chiffres
★★☆Sachant que $\log 2 \approx 0{,}30103$, combien de chiffres possède $2^{100}$ ?
Inéquation avec une puissance
★★★Une machine de $3\,000$ € perd $8\,\%$ de sa valeur par an. Quand vaudra-t-elle moins de $1\,000$ € ?
Vrai ou faux
★★☆a) $\log(a + b) = \log a + \log b$. b) $\log$ est croissante. c) $\log(0) = 0$.
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