Solides et volumes
Reconnaître les solides usuels, dessiner un patron et calculer le volume d'un cube et d'un pavé droit.
1. Les solides usuels
Définition · Pavé droit et cube
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) a $6$ faces rectangulaires, $12$ arêtes et $8$ sommets. Un cube est un pavé droit dont les $6$ faces sont des carrés identiques.
- Le prisme droit a deux bases polygonales identiques et parallèles, et des faces latérales rectangulaires.
- Le cylindre a deux bases qui sont des disques.
- La pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent au sommet.
- Le cône a une base en forme de disque et un sommet ; la boule est limitée par une sphère.
Définition · Patron
Un patron d'un solide est une figure plane qui, après pliage, permet de fabriquer ce solide sans recouvrement.
2. Le volume
Définition · Volume
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. L'unité de base est le mètre cube ($\text{m}^3$) : le volume d'un cube de $1$ m d'arête.
Propriété · Formules
- Pavé droit de dimensions $L$, $\ell$, $h$ : $V = L \times \ell \times h$.
- Cube d'arête $a$ : $V = a \times a \times a$.
Exemple
Une boîte de $10$ cm sur $6$ cm sur $4$ cm a un volume de $10 \times 6 \times 4 = 240\ \text{cm}^3$.
3. Unités de volume et de contenance
Propriété · Conversions
$1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3$ ; $1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3$.
Lien avec les litres : $1\ \text{dm}^3 = 1$ L et $1\ \text{cm}^3 = 1$ mL.
Attention · Chaque unité vaut 1 000 fois la suivante
Pour les volumes, on multiplie ou on divise par $1\,000$ (et non par $10$ ou $100$) quand on change d'unité.
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Exercices corrigés
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Faces, arêtes, sommets
★☆☆Combien de faces, d'arêtes et de sommets a un cube ? Et une pyramide à base carrée ?
Reconnaître un solide
★☆☆Nommer le solide : a) une boîte de conserve ; b) un dé à jouer ; c) une brique ; d) un cornet de glace.
Volume d'un pavé
★☆☆Calculer le volume d'un pavé droit de $8$ cm de long, $5$ cm de large et $3$ cm de haut.
Volume d'un cube
★☆☆Calculer le volume d'un cube de $6$ cm d'arête.
Conversions
★★☆Convertir : $3\ \text{m}^3$ en $\text{dm}^3$ ; $4\,500\ \text{cm}^3$ en $\text{dm}^3$ ; $2{,}5\ \text{dm}^3$ en $\text{cm}^3$ ; $750\ \text{dm}^3$ en $\text{m}^3$.
Volumes et litres
★★☆Convertir en litres : $5\ \text{dm}^3$ ; $250\ \text{cm}^3$ ; $1\ \text{m}^3$.
Aquarium
★★☆Un aquarium a la forme d'un pavé de $60$ cm sur $30$ cm sur $40$ cm. Combien de litres d'eau contient-il quand il est plein ?
Unités mélangées
★★☆Un pavé mesure $1{,}2$ m sur $50$ cm sur $4$ dm. Calculer son volume en $\text{dm}^3$.
Hauteur manquante
★★☆Un pavé droit a un volume de $180\ \text{cm}^3$, une longueur de $6$ cm et une largeur de $5$ cm. Quelle est sa hauteur ?
Compter les cubes
★☆☆Un pavé est construit avec des petits cubes de $1$ cm d'arête : $5$ cubes sur la longueur, $3$ sur la largeur, $4$ en hauteur. Combien de cubes ? Quel volume ?
Patron d'un cube
★★☆Combien de carrés comporte le patron d'un cube ? Si l'arête mesure $3$ cm, quelle est l'aire totale du patron ?
Patron d'un pavé
★★☆Quelles sont les dimensions des $6$ rectangles du patron d'un pavé de $5$ cm × $3$ cm × $2$ cm ?
Piscine
★★★Une piscine rectangulaire mesure $10$ m sur $4$ m et a une profondeur de $1{,}5$ m. Combien de $\text{m}^3$ d'eau faut-il pour la remplir ? Combien de litres ?
Bouteilles
★★☆Combien de bouteilles de $75$ cL peut-on remplir avec $9$ L de jus ?
Doubler l'arête
★★★On double l'arête d'un cube de $2$ cm. Par combien est multiplié le volume ?
Boîte de sucres
★★☆Des sucres ont la forme de cubes de $1$ cm d'arête. Combien peut-on en ranger dans une boîte de $10$ cm × $6$ cm × $3$ cm ?
Comparer deux boîtes
★★☆Boîte A : cube de $5$ cm d'arête. Boîte B : pavé de $8$ cm × $4$ cm × $4$ cm. Laquelle a le plus grand volume ?
Prisme ou pyramide ?
★☆☆Un solide a deux bases triangulaires identiques et parallèles et trois faces rectangulaires. De quel solide s'agit-il ?
Réservoir
★★★Un réservoir en forme de pavé de $2$ m × $1$ m × $0{,}8$ m est rempli aux trois quarts. Combien de litres contient-il ?
Montée de l'eau
★★★Un bac rectangulaire a une base de $20$ cm sur $15$ cm. On y plonge un caillou et l'eau monte de $2$ cm. Quel est le volume du caillou ?
Arêtes d'un pavé
★★☆Quelle longueur de fil faut-il pour fabriquer toutes les arêtes d'un pavé de $6$ cm × $4$ cm × $3$ cm ?
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