Pyramides et cônes
Reconnaître, représenter et calculer le volume d'une pyramide et d'un cône de révolution.
1. Pyramide et cône
Définition · Pyramide
Une pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui ont un sommet commun, le sommet de la pyramide. La hauteur est le segment issu du sommet et perpendiculaire à la base.
Définition · Cône de révolution
Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit. Sa base est un disque.
2. Volume
Propriété · Volume d'une pyramide ou d'un cône
$$V = \dfrac{\mathcal{A}_{\text{base}} \times h}{3}$$Pour un cône de rayon $r$ : $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$.
Attention · Un tiers
Une pyramide a un volume égal au tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur ; de même pour le cône et le cylindre.
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Exercices corrigés
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Décrire une pyramide
★☆☆Une pyramide a une base hexagonale. Combien a-t-elle de faces, d'arêtes et de sommets ?
Volume d'une pyramide
★☆☆Une pyramide a une base carrée de $6$ cm de côté et une hauteur de $10$ cm. Calculer son volume.
Volume d'un cône
★☆☆Calculer le volume d'un cône de rayon $3$ cm et de hauteur $8$ cm, arrondi au $\text{cm}^3$.
Pyramide du Louvre
★★☆La pyramide du Louvre a une base carrée de $35$ m de côté et une hauteur de $21{,}6$ m. Calculer son volume.
Base triangulaire
★★☆Une pyramide a pour base un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $4$ cm et $6$ cm. Sa hauteur est $9$ cm. Calculer son volume.
Cornet de glace
★★☆Un cornet conique a un diamètre de $5$ cm et une profondeur de $12$ cm. Quel volume de glace (en mL) peut-il contenir, arrondi à l'unité ?
Comparer avec le cylindre
★★☆Un cône et un cylindre ont le même rayon et la même hauteur. Combien de cônes remplis faut-il pour remplir le cylindre ?
Hauteur manquante
★★★Une pyramide à base rectangulaire de $8$ cm sur $5$ cm a un volume de $120\ \text{cm}^3$. Quelle est sa hauteur ?
Hauteur avec Pythagore
★★★Un cône a un rayon de $6$ cm et une génératrice (distance du sommet à un point du cercle de base) de $10$ cm. Calculer sa hauteur puis son volume.
Patron d'une pyramide
★★☆De quoi est formé le patron d'une pyramide à base carrée ?
Tétraèdre
★☆☆Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. Combien a-t-il de faces ? De quelle forme sont-elles ?
Conversions
★☆☆Un cône a un volume de $1\,500\ \text{cm}^3$. Exprimer ce volume en litres.
Tas de sable
★★★Un tas de sable a la forme d'un cône de $2$ m de diamètre et de $0{,}9$ m de haut. Calculer son volume (arrondi au dixième de $\text{m}^3$).
Doubler la hauteur
★★☆Si l'on double la hauteur d'une pyramide sans changer sa base, que devient son volume ?
Doubler le rayon
★★★Si l'on double le rayon d'un cône sans changer sa hauteur, par combien est multiplié son volume ?
Pyramide dans un cube
★★★Un cube a une arête de $6$ cm. On y place une pyramide ayant pour base une face du cube et pour sommet le centre de la face opposée. Calculer le volume de la pyramide et comparer à celui du cube.
Entonnoir
★★☆Un entonnoir conique a un rayon de $7$ cm et une hauteur de $9$ cm. Peut-il contenir $0{,}5$ L ?
Reconnaître
★☆☆Parmi : chapeau de sorcière, dé, pyramide de Khéops, boîte de conserve, cornet de glace, lesquels ressemblent à une pyramide ou un cône ?
Aire de base
★★☆Une pyramide de hauteur $15$ cm a un volume de $250\ \text{cm}^3$. Quelle est l'aire de sa base ?
Section
★★★On coupe une pyramide à base carrée par un plan parallèle à la base. Quelle est la forme de la section ?
Vrai ou faux
★★☆a) Le volume d'un cône est $\pi r^2 h$. b) Une pyramide à base carrée a $5$ faces. c) La base d'un cône est un disque.
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