Les translations
Construire l'image d'une figure par une translation et utiliser ses propriétés.
1. Définition
Définition · Translation
La translation qui transforme $A$ en $B$ fait « glisser » toute figure dans la direction de la droite $(AB)$, dans le sens de $A$ vers $B$, et d'une longueur égale à $AB$.
Propriété · Image d'un point
L'image $M'$ d'un point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ est le point tel que $ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
2. Propriétés
Propriété · La translation conserve
les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme. L'image d'une droite est une droite parallèle.
Méthode · Construire l'image d'un point
Au compas : on reporte $AB$ à partir de $M$ et $AM$ à partir de $B$ ; l'intersection des arcs (du bon côté) est $M'$. Sur quadrillage : on compte les carreaux du déplacement de $A$ à $B$ et on l'applique à $M$.
3. Frises et pavages
Exemple
Une frise est obtenue en répétant un motif par translations successives ; un pavage recouvre le plan par translations dans deux directions.
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Exercices corrigés
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Vocabulaire
★☆☆Quelles sont les trois caractéristiques d'une translation ?
Sur quadrillage
★☆☆La translation transforme $A$ en $B$. Construire l'image $M'$ de $M$.
Longueur conservée
★☆☆$[C'D']$ est l'image de $[CD]$ par une translation, et $CD = 4{,}7$ cm. Que vaut $C'D'$ ?
Parallélogramme
★★☆La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $M$ en $M'$. Quelle est la nature du quadrilatère $ABM'M$ ? Que peut-on dire de $(AB)$ et $(MM')$ ?
Image d'une droite
★★☆Quelle est l'image d'une droite $(d)$ par une translation ?
Coordonnées
★★☆Dans un repère, la translation transforme $A(1\,;\,2)$ en $B(4\,;\,-1)$. Quelle est l'image de $M(-2\,;\,5)$ ?
Retrouver le point de départ
★★☆La même translation transforme $N$ en $N'(7\,;\,0)$. Trouver $N$.
Angle conservé
★☆☆Un angle de $73°$ est transformé par une translation. Quelle est la mesure de son image ?
Cercle
★★☆Quelle est l'image d'un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm par une translation ?
Frise
★★☆Un motif de $2$ cm de large est répété par translations de $2$ cm vers la droite. Combien de motifs sur une bande de $30$ cm ?
Translation ou symétrie ?
★★☆Un motif et son image ont la même orientation (non retournés), et les segments qui relient les points à leurs images sont parallèles et de même longueur. De quelle transformation s'agit-il ?
Construction au compas
★★☆Décrire la construction au compas de l'image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.
Composée de deux translations
★★★On applique la translation de $A$ vers $B$, puis celle de $B$ vers $C$. Quelle transformation obtient-on ?
Aire conservée
★☆☆Un rectangle d'aire $24\ \text{cm}^2$ subit une translation. Quelle est l'aire de son image ?
Point sur la droite
★★★$M$ appartient à la droite $(AB)$. Où se trouve son image $M'$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ?
Pavage
★★☆Un carrelage est formé de carreaux hexagonaux identiques. Comment passe-t-on d'un carreau à un autre ?
Parallélisme conservé
★★☆$(d_1) \parallel (d_2)$. On applique une translation aux deux droites. Leurs images sont-elles parallèles ?
Déplacement réel
★☆☆Citer un mouvement de la vie courante qui correspond à une translation.
Vecteur
★★★On note $\overrightarrow{AB}$ la translation qui transforme $A$ en $B$ (le « vecteur » $\overrightarrow{AB}$). Si $ABCD$ est un parallélogramme, quelle translation transforme $D$ en $C$ ?
Triangle image
★★☆Le triangle $ABC$ est équilatéral de côté $5$ cm. Quelle est la nature de son image par une translation ?
Vrai ou faux
★★☆a) Une translation retourne la figure. b) L'image d'un segment est un segment parallèle de même longueur. c) Une translation a un centre.
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