La sphère et la boule
Sphère et boule, aire et volume, sections planes, repérage sur la sphère terrestre.
1. Définitions
Définition
La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $O$ (la « surface »). La boule est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $r$ (la sphère et son intérieur).
2. Aire et volume
Propriété
Aire de la sphère : $\mathcal{A} = 4\pi r^2$. $\qquad$ Volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
3. Section d'une sphère par un plan
Propriété
La section d'une sphère par un plan est un cercle. Si le plan est à la distance $d$ du centre ($d \lt r$), le rayon $r'$ de la section vérifie, d'après Pythagore : $r'^2 = r^2 - d^2$.
4. Repérage sur la Terre
Propriété
On repère un point sur la Terre par sa latitude (angle nord ou sud par rapport à l'équateur, de $0°$ à $90°$) et sa longitude (angle est ou ouest par rapport au méridien de Greenwich, de $0°$ à $180°$).
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Exercices corrigés
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Aire d'une sphère
★☆☆Calculer l'aire d'une sphère de rayon $5$ cm, arrondie au $\text{cm}^2$.
Volume d'une boule
★☆☆Calculer le volume d'une boule de rayon $3$ cm, arrondi au $\text{cm}^3$.
Ballon de basket
★★☆Un ballon a un diamètre de $24$ cm. Calculer son volume en litres (au dixième).
Section
★★☆Une sphère de rayon $10$ cm est coupée par un plan à $6$ cm du centre. Calculer le rayon de la section.
Section passant par le centre
★☆☆Quel est le rayon de la section d'une sphère de rayon $7$ cm par un plan passant par son centre ?
Distance au centre
★★★La section d'une sphère de rayon $13$ cm est un cercle de rayon $5$ cm. À quelle distance du centre est le plan ?
Boule et cylindre
★★★Une boule de rayon $r$ est posée dans un cylindre de même rayon et de hauteur $2r$. Quelle fraction du cylindre la boule occupe-t-elle ?
Aire de la Terre
★★☆La Terre a un rayon d'environ $6\,400$ km. Calculer l'aire de sa surface en écriture scientifique.
Doubler le rayon
★★☆Si on double le rayon d'une boule, par combien sont multipliés son aire et son volume ?
Rayon à partir du volume
★★★Une boule a un volume de $288\pi\ \text{cm}^3$. Quel est son rayon ?
Sphère ou boule ?
★☆☆Une bulle de savon est-elle plutôt une sphère ou une boule ? Et une bille ?
Latitude et longitude
★☆☆Paris a pour coordonnées environ $49°$ N et $2°$ E. Que signifient ces nombres ?
Équateur
★★☆Quelle est la latitude d'un point de l'équateur ? du pôle Nord ?
Longueur de l'équateur
★★☆Calculer la longueur de l'équateur (rayon terrestre $6\,400$ km), arrondie au millier de km.
Demi-boule
★★☆Un bol a la forme d'une demi-boule de rayon intérieur $8$ cm. Quelle quantité de soupe (en mL) peut-il contenir, arrondie à l'unité ?
Glace
★★★Une boule de glace de rayon $3$ cm est posée sur un cornet conique de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm. Si la glace fond, le cornet déborde-t-il ?
Section et parallèle
★★★Le parallèle de latitude $60°$ N est un cercle. Son rayon vaut $R \cos 60°$ ($R$ rayon terrestre). Le calculer pour $R = 6\,400$ km.
Comparaison
★★☆Qu'a le plus grand volume : une boule de rayon $3$ cm ou un cube d'arête $4{,}8$ cm ?
Peinture d'une boule
★★☆On peint une boule de rayon $50$ cm. Un pot couvre $2\ \text{m}^2$. Combien de pots faut-il ?
Boules dans une boîte
★★★Trois balles de tennis de rayon $3{,}3$ cm sont rangées dans un tube cylindrique juste à leur taille. Quel volume du tube est vide ?
Vrai ou faux
★★☆a) La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle (ou un point). b) Le volume d'une boule est $4\pi r^2$. c) La longitude de Greenwich est $0°$.
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