Arithmétique
Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et fractions irréductibles.
1. Multiples et diviseurs
Définition
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que $a$ est un multiple de $b$ (ou que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $b$ divise $a$) s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$.
Exemple
$42 = 6 \times 7$ : $42$ est un multiple de $6$ et de $7$ ; $6$ et $7$ sont des diviseurs de $42$.
Propriété · Somme de multiples
Si $a$ et $b$ sont des multiples de $c$, alors $a + b$ et $a - b$ sont aussi des multiples de $c$.
Preuve : $a = kc$ et $b = k'c$ donc $a + b = (k + k')c$ avec $k + k'$ entier.
Méthode · Critères de divisibilité
- par $2$ : le chiffre des unités est pair ;
- par $3$ : la somme des chiffres est divisible par $3$ ;
- par $5$ : le chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
- par $9$ : la somme des chiffres est divisible par $9$ ;
- par $10$ : le chiffre des unités est $0$.
2. Nombres pairs et impairs
Définition
Un entier pair s'écrit $2k$, un entier impair s'écrit $2k + 1$, avec $k$ entier.
Propriété · Le carré d'un impair est impair
Si $n = 2k + 1$, alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ : c'est un nombre impair.
Exemple · Démontrer avec des lettres
La somme de deux entiers consécutifs est impaire : $n + (n + 1) = 2n + 1$.
3. Nombres premiers
Définition
Un entier naturel est premier s'il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$ ($1$ n'est pas premier).
Méthode · Tester si n est premier
On teste la divisibilité de $n$ par les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est premier.
Exemple : $97$. On teste $2, 3, 5, 7$ ($11^2 = 121 \gt 97$) : aucun ne divise $97$, donc $97$ est premier.
4. Décomposition en facteurs premiers
Propriété · Théorème
Tout entier $n \geq 2$ se décompose de façon unique (à l'ordre près) en un produit de nombres premiers.
Méthode · Décomposer
On divise successivement par les nombres premiers dans l'ordre croissant :
$360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
Méthode · Rendre une fraction irréductible
On décompose numérateur et dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs :
$$\dfrac{84}{120} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 7}{2^3 \times 3 \times 5} = \dfrac{7}{2 \times 5} = \dfrac{7}{10}$$S'entraîner
Exercices corrigés
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Multiples et diviseurs
★☆☆a) $126$ est-il un multiple de $7$ ? b) $9$ est-il un diviseur de $243$ ? c) $15$ divise-t-il $85$ ?
Liste des diviseurs
★☆☆Donner la liste de tous les diviseurs positifs de $36$ puis de $48$. En déduire leur plus grand diviseur commun.
Critères de divisibilité
★☆☆Parmi $2\,025$ ; $3\,570$ ; $1\,236$, lesquels sont divisibles par $2$ ? par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ?
Premier ou non ?
★★☆Les nombres $91$, $101$ et $143$ sont-ils premiers ?
Décomposer
★☆☆Décomposer en produit de facteurs premiers : $60$ ; $150$ ; $252$ ; $1\,001$.
Fractions irréductibles
★★☆Rendre irréductibles : $\dfrac{90}{126}$ et $\dfrac{210}{385}$.
Somme de trois consécutifs
★★☆Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Somme de deux impairs
★★☆Démontrer que la somme de deux nombres impairs est paire.
Produit de deux consécutifs
★★★Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Carré d'un pair
★★☆Démontrer que le carré d'un nombre pair est un multiple de $4$.
Parité et carré
★★★Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
Carreaux
★★☆On veut carreler une pièce de $3{,}60$ m sur $2{,}52$ m avec des carreaux carrés les plus grands possibles, sans découpe. Quelle est la taille d'un carreau (en cm) ? Combien en faut-il ?
Rencontre de deux phares
★★★Un phare s'allume toutes les $12$ s, un autre toutes les $18$ s. Ils s'allument ensemble à minuit. Au bout de combien de temps s'allument-ils de nouveau ensemble ?
Nombre de diviseurs
★★★On admet qu'un nombre $2^a \times 3^b$ a $(a + 1)(b + 1)$ diviseurs. Combien de diviseurs a $72$ ? Les lister.
Multiple de 6
★★☆Montrer que si un entier est divisible par $2$ et par $3$, il est divisible par $6$. Appliquer à $4\,578$.
Simplifier une racine avec la décomposition
★★☆Décomposer $180$ puis simplifier $\sqrt{180}$.
Somme de fractions
★★☆Calculer et donner le résultat sous forme irréductible : $\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18}$.
Conjecture fausse
★★★Pour $n = 1, 2, 3, 4$, le nombre $n^2 + n + 41$ est premier. Est-il toujours premier ? (Tester $n = 40$.)
Reste d'une division
★★☆Quel est le reste de la division euclidienne de $2\,027$ par $9$ ? En déduire le plus petit entier à ajouter pour obtenir un multiple de $9$.
Paquets de billes
★★☆Léo a moins de $100$ billes. En les rangeant par $4$, il en reste $1$ ; par $5$, il en reste $1$ ; par $6$, il en reste $1$. Combien a-t-il de billes ?
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