Nombres réels et intervalles
Les ensembles de nombres ?, ?, ?, ?, ?, les intervalles, la valeur absolue et les encadrements.
1. Les ensembles de nombres
Au fil des années, on a rencontré des nombres de plus en plus variés. On les range dans des ensembles emboîtés : chaque ensemble contient le précédent.
Définition · Les cinq ensembles
- $\mathbb{N}$ : les entiers naturels $0, 1, 2, 3, \dots$
- $\mathbb{Z}$ : les entiers relatifs $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
- $\mathbb{D}$ : les nombres décimaux, qui s'écrivent $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ (nombre fini de chiffres après la virgule) : $-3{,}25$, $0{,}1$…
- $\mathbb{Q}$ : les nombres rationnels, quotients $\dfrac{a}{b}$ d'entiers ($b \neq 0$) : $\dfrac{1}{3}$, $-\dfrac{7}{4}$…
- $\mathbb{R}$ : les nombres réels, tous les nombres de la droite graduée, y compris les irrationnels comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$.
Propriété · Inclusions
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$Exemple · Un rationnel non décimal
$\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots$ a une infinité de chiffres après la virgule : $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$. En revanche $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ est décimal.
Attention
Une calculatrice affiche $\sqrt{2} \approx 1{,}414213562$ : ce n'est qu'une valeur approchée. On démontre que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel : son écriture décimale est illimitée et non périodique.
2. Les intervalles
Un intervalle est un « morceau » de la droite des réels, sans trou. Le crochet tourné vers le nombre signifie que la borne est incluse.
Définition · Notations
| Inégalité | Intervalle | Se lit |
|---|---|---|
| $a \leq x \leq b$ | $[a\,;\,b]$ | fermé |
| $a \lt x \lt b$ | $]a\,;\,b[$ | ouvert |
| $a \leq x \lt b$ | $[a\,;\,b[$ | semi-ouvert |
| $x \geq a$ | $[a\,;\,+\infty[$ | |
| $x \lt b$ | $]-\infty\,;\,b[$ |
Attention · Infini
Du côté de $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert : l'infini n'est pas un nombre.
Définition · Intersection et réunion
$I \cap J$ (« I inter J ») contient les réels appartenant aux deux intervalles ; $I \cup J$ (« I union J ») ceux qui appartiennent à au moins un des deux.
Exemple
$[-2\,;\,3[ \cap [1\,;\,5] = [1\,;\,3[$ et $[-2\,;\,3[ \cup [1\,;\,5] = [-2\,;\,5]$.
3. Valeur absolue et distance
Définition · Valeur absolue
La valeur absolue de $x$, notée $|x|$, est la distance entre $0$ et $x$ sur la droite graduée : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x \lt 0$.
Propriété · Distance
La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|b - a|$.
Ainsi, $|x - a| \leq r$ signifie que $x$ est à une distance au plus $r$ de $a$, c'est-à-dire $x \in [a - r\,;\,a + r]$.
4. Encadrements et arrondis
Méthode · Encadrer un nombre
$1{,}41 \lt \sqrt{2} \lt 1{,}42$ est un encadrement d'amplitude $0{,}01$. L'arrondi au centième de $\sqrt{2}$ est $1{,}41$ (le chiffre suivant, $4$, est inférieur à $5$).
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Exercices corrigés
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Ranger dans les ensembles
★☆☆Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$) auquel il appartient : $-4$ ; $\dfrac{12}{3}$ ; $0{,}7$ ; $\dfrac{2}{7}$ ; $\sqrt{9}$ ; $\sqrt{5}$ ; $-\dfrac{3}{8}$.
Vrai ou faux
★☆☆a) $-2 \in \mathbb{N}$ ; b) $\dfrac{1}{4} \in \mathbb{D}$ ; c) $\pi \in \mathbb{Q}$ ; d) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ ; e) $\dfrac{7}{7} \in \mathbb{N}$.
Écrire un intervalle
★☆☆Traduire par un intervalle : a) $-1 \leq x \leq 4$ ; b) $x \gt 2$ ; c) $0 \lt x \leq 7$ ; d) $x \leq -3$.
De l'intervalle à l'inégalité
★☆☆Traduire par une inégalité : a) $x \in ]-5\,;\,1]$ ; b) $x \in [2\,;\,+\infty[$ ; c) $x \in ]-\infty\,;\,0[$.
Appartenance
★☆☆Les nombres $3$ ; $-2$ ; $\sqrt{10}$ ; $\dfrac{7}{2}$ appartiennent-ils à $]-2\,;\,3{,}5[$ ?
Intersection et réunion
★★☆$I = [-3\,;\,2]$ et $J = ]0\,;\,6[$. Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$.
Intersection vide
★★☆Déterminer $]-\infty\,;\,1[ \cap [1\,;\,4]$ puis $]-\infty\,;\,1[ \cup [1\,;\,4]$.
Valeurs absolues
★☆☆Calculer : $|-7|$ ; $|3 - 8|$ ; $|\pi - 4|$ ; $|\sqrt{2} - 1|$.
Distance entre deux réels
★☆☆Calculer la distance entre : a) $2$ et $9$ ; b) $-3$ et $5$ ; c) $-6$ et $-1$.
Résoudre avec une valeur absolue
★★☆Résoudre : a) $|x - 4| = 3$ ; b) $|x - 4| \leq 3$ ; c) $|x + 1| \lt 2$.
De l'intervalle à la valeur absolue
★★★Écrire l'intervalle $[2\,;\,10]$ sous la forme $|x - a| \leq r$.
Encadrement
★★☆À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\sqrt{7}$ d'amplitude $10^{-2}$, puis son arrondi au centième.
Décimal ou non ?
★★☆Les fractions $\dfrac{3}{20}$, $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{21}{35}$ sont-elles des nombres décimaux ?
Écriture fractionnaire d'un décimal périodique
★★★On pose $x = 0{,}272727\dots$ Calculer $100x - x$ et en déduire une écriture fractionnaire de $x$.
Représenter un intervalle
★☆☆Représenter sur une droite graduée les intervalles $[-1\,;\,3]$ et $]2\,;\,+\infty[$, puis donner leur intersection.
Traduire un énoncé
★★☆La température d'un réfrigérateur doit rester entre $2\,{}^\circ\text{C}$ et $6\,{}^\circ\text{C}$ inclus. Traduire par un intervalle, puis par une valeur absolue.
Comparer
★★☆Ranger dans l'ordre croissant : $\dfrac{22}{7}$ ; $\pi$ ; $3{,}14$ ; $\sqrt{10}$.
Tolérance de fabrication
★★☆Une pièce doit mesurer $50$ mm à $0{,}2$ mm près. Écrire la condition avec une valeur absolue, puis avec un intervalle. Une pièce de $49{,}75$ mm est-elle acceptée ?
Réunion d'intervalles
★★☆Écrire l'ensemble des réels $x$ tels que $x \lt -1$ ou $x \geq 4$ comme une réunion d'intervalles. Quel est son complémentaire dans $\mathbb{R}$ ?
Raisonnement : ?2 est irrationnel
★★★On suppose que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $\dfrac{p}{q}$ irréductible. Montrer que $p^2 = 2q^2$, puis que $p$ et $q$ sont tous deux pairs. Conclure.
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