Variations et extremums
Fonctions croissantes, décroissantes, tableaux de variations, maximum et minimum.
1. Sens de variation
Parcourir une courbe de gauche à droite, c'est comme marcher sur un sentier de montagne : on monte, on descend… Les variations décrivent ces montées et descentes.
Définition
Soit $f$ définie sur un intervalle $I$.
- $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a \lt b$ de $I$, $f(a) \leq f(b)$ : les images sont rangées dans le même ordre.
- $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a \lt b$ de $I$, $f(a) \geq f(b)$ : l'ordre est inversé.
- On parle de stricte croissance/décroissance avec des inégalités strictes.
2. Tableau de variations
Définition
Un tableau de variations résume le sens de variation : des flèches montantes ou descendantes, avec les valeurs aux bornes et aux points où le sens change.
Méthode · Lire un tableau de variations
Dans le tableau ci-dessus : sur $[-2\,;\,4]$, $f$ a un maximum égal à $5$, atteint en $1$, et un minimum égal à $-3$, atteint en $-2$. On peut comparer : $f(-1) \lt f(0)$ car $f$ est croissante sur $[-2\,;\,1]$.
3. Extremums
Définition · Maximum et minimum
$M$ est le maximum de $f$ sur $I$ s'il existe $a \in I$ tel que $f(a) = M$ et $f(x) \leq M$ pour tout $x \in I$. De même, $m$ est le minimum si $f(x) \geq m$ pour tout $x$ et $m$ est atteint.
Méthode · Prouver un extremum
Pour $f(x) = (x - 2)^2 + 3$ : un carré est toujours positif, donc $f(x) \geq 3$, avec égalité pour $x = 2$. Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $3$, atteint en $2$.
Attention
Ne pas confondre la valeur de l'extremum ($3$) et l'endroit où il est atteint ($x = 2$).
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Exercices corrigés
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Lire un tableau
★☆☆$f$ est définie sur $[-3\,;\,5]$ : croissante de $f(-3) = 1$ à $f(2) = 6$, puis décroissante jusqu'à $f(5) = -2$. Donner le maximum, le minimum et les intervalles de variation.
Comparer des images
★☆☆Avec la fonction de l'exercice précédent, comparer $f(-2)$ et $f(0)$, puis $f(3)$ et $f(4)$.
Peut-on comparer ?
★★☆Toujours avec la même fonction, peut-on comparer $f(0)$ et $f(4)$ ?
Dresser un tableau
★★☆Dresser le tableau de variations de la fonction représentée ci-dessous sur $[-1\,;\,5]$.
Minimum d'une forme canonique
★★☆Montrer que $f(x) = (x + 1)^2 - 4$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$. Préciser sa valeur et où il est atteint.
Maximum
★★☆Montrer que $g(x) = 5 - (x - 3)^2$ admet un maximum.
Monotonie d'une fonction affine
★★☆Démontrer que $f(x) = -3x + 2$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
Croissance de x ? x²
★★★Démontrer que la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. (Indication : $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$.)
Encadrement à partir des variations
★★☆$f$ est croissante sur $[0\,;\,10]$ avec $f(2) = 5$ et $f(7) = 12$. Encadrer $f(x)$ pour $x \in [2\,;\,7]$.
Nombre de solutions
★★★$f$ est croissante de $-4$ à $3$ sur $[0\,;\,2]$, puis décroissante de $3$ à $1$ sur $[2\,;\,6]$. Combien l'équation $f(x) = 2$ a-t-elle de solutions ? Et $f(x) = 0$ ?
Température
★☆☆La température d'une journée augmente de $6$ h à $15$ h (de $8\,{}^\circ\text{C}$ à $21\,{}^\circ\text{C}$), puis diminue jusqu'à $23$ h ($12\,{}^\circ\text{C}$). Dresser le tableau de variations et donner la température maximale.
Aire maximale
★★★Un enclos rectangulaire est construit avec $40$ m de grillage. Montrer que son aire est $A(x) = x(20 - x)$, où $x$ est la largeur, puis que $A(x) = 100 - (x - 10)^2$. Conclure.
Tableau et courbe
★★☆Tracer une courbe possible pour une fonction définie sur $[0\,;\,6]$, décroissante sur $[0\,;\,3]$ de $4$ à $-1$ et croissante sur $[3\,;\,6]$ de $-1$ à $2$.
Signe à partir des variations
★★☆$f$ est définie sur $[1\,;\,8]$, décroissante, avec $f(1) = 6$ et $f(8) = 2$. Quel est le signe de $f(x)$ ?
Bénéfice
★★☆Le bénéfice d'une entreprise (en milliers d'€) pour $x$ centaines d'objets vendus est $B(x) = -2(x - 5)^2 + 18$, pour $x \in [0\,;\,10]$. Quelle production maximise le bénéfice ?
Vrai ou faux
★★☆a) Si $f$ est croissante, $f(3) \geq f(1)$. b) Une fonction a toujours un maximum. c) Si $f(1) \lt f(2)$, $f$ est croissante sur $[1\,;\,2]$.
Fonction constante
★☆☆Que dire des variations de $f(x) = 7$ ?
Tableau de variations de la fonction carré
★☆☆Dresser le tableau de variations de $x \mapsto x^2$ sur $[-3\,;\,2]$ et donner son maximum et son minimum.
Vitesse d'un TGV
★★☆Un TGV accélère pendant $8$ min jusqu'à $300$ km/h, roule à vitesse constante pendant $1$ h puis ralentit jusqu'à l'arrêt en $10$ min. Décrire les variations de la vitesse en fonction du temps.
Minimum d'une distance
★★★On considère $M(x\,;\,0)$ et $A(3\,;\,4)$. Montrer que $AM^2 = (x - 3)^2 + 16$. Pour quelle valeur de $x$ la distance $AM$ est-elle minimale ? Que vaut-elle ?
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