Fonctions de référence
Fonctions carré, inverse, racine carrée et cube : variations, courbes et comparaisons.
1. Vocabulaire
Définition
Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est croissante sur $I$ si pour tous $a \leq b$ de $I$, $f(a) \leq f(b)$ ; décroissante si $f(a) \geq f(b)$. Les fonctions de référence servent de « modèles » : il faut connaître leur courbe par cœur.
2. La fonction carré : $x \mapsto x^2$
Propriété
- Définie sur $\mathbb{R}$, décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ ; minimum $0$ en $0$.
- Sa courbe est une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire : $(-x)^2 = x^2$).
3. La fonction inverse : $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
Propriété
- Définie sur $\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$.
- Décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$.
- Sa courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire).
Attention
On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 \lt 1$ mais $\dfrac{1}{-1} = -1 \lt 1 = \dfrac{1}{1}$.
4. Racine carrée et cube
Propriété
- $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
- $x \mapsto x^3$ est définie et croissante sur $\mathbb{R}$ ; elle est impaire.
Propriété · Positions relatives
Pour $0 \leq x \leq 1$ : $x^3 \leq x^2 \leq x \leq \sqrt{x}$. Pour $x \geq 1$ : $\sqrt{x} \leq x \leq x^2 \leq x^3$.
Méthode · Comparer sans calculer
Comme la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $2{,}3 \lt 2{,}4 \Rightarrow 2{,}3^2 \lt 2{,}4^2$.
Comme elle est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : $-5 \lt -3 \Rightarrow (-5)^2 \gt (-3)^2$.
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Exercices corrigés
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Comparer des carrés
★☆☆Sans calculer, comparer : a) $3{,}7^2$ et $3{,}9^2$ ; b) $(-1{,}2)^2$ et $(-0{,}8)^2$.
Encadrer un inverse
★★☆Sachant que $2 \leq x \leq 5$, encadrer $\dfrac{1}{x}$.
Résoudre graphiquement
★★★Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a) $x^2 = 9$ ; b) $x^2 \lt 4$ ; c) $\dfrac{1}{x} \gt 2$.
Comparer des inverses
★☆☆Comparer sans calculer : $\dfrac{1}{3{,}1}$ et $\dfrac{1}{3{,}01}$ ; $\dfrac{1}{-2}$ et $\dfrac{1}{-5}$.
Encadrer un carré
★★☆Encadrer $x^2$ lorsque : a) $1 \leq x \leq 3$ ; b) $-4 \leq x \leq -2$ ; c) $-1 \leq x \leq 3$.
Équations avec le carré
★☆☆Résoudre : $x^2 = 5$ ; $x^2 = 0{,}01$ ; $x^2 = -2$.
Inéquations avec le carré
★★☆Résoudre : a) $x^2 \geq 9$ ; b) $x^2 \leq 2$.
Équations avec l'inverse
★☆☆Résoudre : $\dfrac{1}{x} = 4$ ; $\dfrac{1}{x} = -0{,}5$ ; $\dfrac{1}{x} = 0$.
Racine carrée
★☆☆Comparer sans calculatrice : $\sqrt{17}$ et $4$ ; $\sqrt{0{,}5}$ et $0{,}5$.
Équations avec la racine
★★☆Résoudre : $\sqrt{x} = 3$ ; $\sqrt{x} = -1$ ; $\sqrt{x} \leq 2$.
Fonction cube
★☆☆Calculer $(-2)^3$, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$, et résoudre $x^3 = 27$ puis $x^3 = -8$.
Positions relatives
★★☆Comparer $0{,}3$ ; $0{,}3^2$ ; $0{,}3^3$ ; $\sqrt{0{,}3}$, puis $1{,}5$ ; $1{,}5^2$ ; $\sqrt{1{,}5}$.
Tableau de variations de l'inverse
★★☆Dresser le tableau de variations de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $[-4\,;\,-1]$ puis sur $[0{,}5\,;\,4]$.
Courbes et intersections
★★☆Déterminer les points d'intersection des courbes de $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto x$.
Parabole et hyperbole
★★★Montrer que les courbes de $x \mapsto x^2$ et de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ se coupent en un seul point.
Loi de Boyle-Mariotte
★★☆À température constante, le volume d'un gaz vérifie $V = \dfrac{24}{P}$ ($V$ en L, $P$ en bar). Comment varie le volume quand la pression augmente ? Encadrer $V$ pour $P \in [2\,;\,6]$.
Distance de freinage
★★☆La distance de freinage d'une voiture sur route sèche est environ $d(v) = 0{,}006v^2$ ($d$ en m, $v$ en km/h). Calculer $d(50)$ et $d(100)$. Que se passe-t-il quand la vitesse double ?
Vrai ou faux
★★☆a) Si $x \lt y$ alors $x^2 \lt y^2$. b) Si $0 \lt x \lt y$ alors $\dfrac{1}{x} \gt \dfrac{1}{y}$. c) $\sqrt{x} \geq x$ pour tout $x \geq 0$.
Encadrer une expression
★★★Sachant que $1 \leq x \leq 4$, encadrer $f(x) = 3 - \dfrac{2}{x}$.
Identifier une courbe
★☆☆Une courbe passe par $(0\,;\,0)$, $(1\,;\,1)$, $(4\,;\,2)$ et n'existe pas pour $x \lt 0$. De quelle fonction de référence s'agit-il ?
Vérifier
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