Fonctions affines et signe
Fonctions affines, coefficient directeur, signe de ax + b, tableaux de signes, inéquations produit et quotient.
1. Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$. Sa courbe est une droite ; $a$ est le coefficient directeur (la pente) et $b$ l'ordonnée à l'origine. Si $b = 0$, $f$ est linéaire (proportionnalité).
Propriété · Coefficient directeur
Pour deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ : $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Les accroissements de $f(x)$ sont proportionnels à ceux de $x$.
Propriété · Sens de variation
Si $a \gt 0$, $f$ est strictement croissante ; si $a \lt 0$, strictement décroissante ; si $a = 0$, $f$ est constante.
2. Signe de ax + b
Propriété
Pour $a \neq 0$, $ax + b$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$. Il est du signe de $a$ à droite de $x_0$ et du signe contraire à gauche.
3. Tableaux de signes d'un produit ou d'un quotient
Méthode · Étudier le signe de (2x ? 6)(?x + 1)
- On cherche où chaque facteur s'annule : $x = 3$ et $x = 1$.
- On dresse une ligne par facteur, en rangeant les valeurs dans l'ordre croissant.
- La dernière ligne s'obtient par la règle des signes.
Attention · Quotient
Pour un quotient $\dfrac{A}{B}$, même méthode, mais la valeur qui annule $B$ est interdite : on place une double barre dans le tableau.
Méthode · Résoudre une inéquation produit
Pour résoudre $(2x - 6)(-x + 1) \geq 0$, on lit le tableau : $S = [1\,;\,3]$.
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Exercices corrigés
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Reconnaître une fonction affine
★☆☆Parmi ces fonctions, lesquelles sont affines ? Préciser $a$ et $b$. $f(x) = 3 - 2x$ ; $g(x) = x^2 + 1$ ; $h(x) = \dfrac{x}{5}$ ; $k(x) = \dfrac{1}{x}$ ; $m(x) = 4$.
Déterminer une fonction affine
★★☆Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(2) = 7$ et $f(5) = 1$.
Lire une droite
★☆☆Une droite passe par $(0\,;\,-2)$ et $(3\,;\,4)$. Donner l'expression de la fonction affine associée.
Tracer une droite
★☆☆Tracer la représentation de $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 3$ en utilisant deux points.
Sens de variation
★☆☆Donner le sens de variation de : $f(x) = 5x - 1$ ; $g(x) = 2 - 0{,}3x$ ; $h(x) = \dfrac{x - 4}{3}$.
Signe de ax + b
★☆☆Dresser le tableau de signes de $3x + 12$ puis de $-2x + 5$.
Tableau de signes d'un produit
★★☆Étudier le signe de $(x + 2)(3 - x)$ et résoudre $(x + 2)(3 - x) \gt 0$.
Inéquation produit
★★☆Résoudre $(2x - 1)(x + 4) \leq 0$.
Factoriser puis étudier le signe
★★★Résoudre $x^2 - 9 \gt 0$ puis $x^2 \leq 5x$.
Inéquation quotient
★★★Résoudre $\dfrac{x - 1}{x + 3} \geq 0$.
Quotient et inéquation
★★★Résoudre $\dfrac{2}{x} \lt 1$ (pour $x \neq 0$). Indication : se ramener à $\dfrac{2 - x}{x} \lt 0$.
Proportionnalité des accroissements
★★☆$f$ est affine avec $f(1) = 4$ et $f(3) = 10$. Sans calculer $a$ et $b$, déterminer $f(7)$.
Forfaits téléphoniques
★★☆Forfait A : $15$ € par mois. Forfait B : $5$ € + $0{,}25$ € par minute. Exprimer les prix $A(x)$ et $B(x)$ pour $x$ minutes. Pour quelles durées B est-il moins cher ?
Température
★★☆La conversion Celsius ? Fahrenheit est affine : $0\,{}^\circ\text{C}$ correspond à $32\,{}^\circ\text{F}$ et $100\,{}^\circ\text{C}$ à $212\,{}^\circ\text{F}$. Déterminer la formule, puis convertir $37\,{}^\circ\text{C}$.
Point d'intersection de deux droites
★★☆Déterminer le point d'intersection des droites d'équations $y = 2x - 3$ et $y = -x + 6$.
Signe d'une expression à trois facteurs
★★★Étudier le signe de $x(x - 2)(x + 1)$.
Lire un signe sur une courbe
★☆☆Une droite représentant $f$ coupe l'axe des abscisses en $x = 4$ et elle est décroissante. Donner le tableau de signes de $f(x)$.
Bénéfice
★★☆Une entreprise vend un objet $12$ €. Ses coûts sont $C(x) = 7x + 400$ pour $x$ objets. Exprimer le bénéfice $B(x)$ et déterminer à partir de combien d'objets l'entreprise est rentable.
Vrai ou faux
★★☆a) Une fonction linéaire est affine. b) $x \mapsto -3$ est croissante. c) $(x - 1)(x - 2) \gt 0$ pour $x = 1{,}5$.
Inéquation quotient avec contexte
★★★La concentration d'un médicament vaut $C(t) = \dfrac{5t}{t + 1}$ mg/L, pour $t \geq 0$ heures. Résoudre $C(t) \geq 4$.
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