Droites du plan et systèmes
Équations de droites, coefficient directeur, droites parallèles, vecteur directeur et systèmes de deux équations à deux inconnues.
1. Équation réduite d'une droite
Propriété
Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation $x = c$.
Propriété · Coefficient directeur
Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ sont sur la droite ($x_A \neq x_B$) : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
Propriété · Parallélisme
Deux droites d'équations $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont parallèles si et seulement si $m = m'$.
2. Équation cartésienne et vecteur directeur
Définition
Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{u}$ dont la direction est celle de $d$ : si $A, B \in d$, $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur.
Propriété
Toute droite a une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ (avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$), et $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur. La droite $y = mx + p$ a pour vecteur directeur $\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$.
Méthode · Trouver une équation cartésienne
Droite passant par $A(1\,;\,2)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $M(x\,;\,y) \in d \iff \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0 \iff 1 \times (x - 1) - 3(y - 2) = 0 \iff x - 3y + 5 = 0$.
3. Systèmes de deux équations
Définition
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues revient à chercher le point d'intersection de deux droites. Il y a une solution (droites sécantes), aucune (droites parallèles distinctes) ou une infinité (droites confondues).
Méthode · Par substitution
$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$ : on remplace $y$ : $3x + 2x - 1 = 9$, $x = 2$, puis $y = 3$. $S = \{(2\,;\,3)\}$.
Méthode · Par combinaison
$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$ : on soustrait : $4y = 8$, $y = 2$, puis $2x = 6$, $x = 3$.
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Exercices corrigés
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Lire une équation
★☆☆Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine : $y = -2x + 7$ ; $y = \dfrac{x}{3}$ ; $y = 5$.
Équation par deux points
★☆☆Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ avec $A(1\,;\,3)$ et $B(3\,;\,7)$.
Droite verticale
★☆☆Donner une équation de la droite passant par $A(-2\,;\,5)$ et $B(-2\,;\,1)$.
Point sur une droite
★☆☆Les points $A(2\,;\,1)$ et $B(-1\,;\,-8)$ appartiennent-ils à la droite $d : y = 3x - 5$ ?
Parallèle passant par un point
★★☆Déterminer l'équation réduite de la parallèle à $y = -x + 4$ passant par $C(3\,;\,5)$.
Droites parallèles ?
★☆☆Les droites $d_1 : y = 0{,}5x + 2$ et $d_2 : 2y - x = 6$ sont-elles parallèles ? Confondues ?
Tracer une droite
★☆☆Tracer la droite d'équation $y = -\dfrac{2}{3}x + 4$ en utilisant l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur.
Équation cartésienne
★★☆Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A(2\,;\,-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$.
Vecteur directeur
★☆☆Donner un vecteur directeur de $d_1 : 2x - 5y + 1 = 0$ et de $d_2 : y = 4x - 3$.
Passer d'une forme à l'autre
★★☆Donner l'équation réduite de la droite $3x + 2y - 8 = 0$.
Système par substitution
★☆☆Résoudre $\begin{cases} x = 3y - 2 \\ 2x + y = 10 \end{cases}$.
Système par combinaison
★★☆Résoudre $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 2y = 9 \end{cases}$.
Système sans solution
★★☆Résoudre $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 5 \end{cases}$. Interpréter graphiquement.
Intersection de deux droites
★★☆Déterminer le point d'intersection des droites $y = 3x - 1$ et $y = -2x + 9$.
Places de concert
★★☆Au concert, $150$ places ont été vendues pour $2\,520$ €. Une place adulte coûte $20$ € et une place enfant $12$ €. Combien de places de chaque sorte ?
Mélange de cafés
★★★On mélange un café à $12$ €/kg et un café à $18$ €/kg pour obtenir $30$ kg à $14$ €/kg. Quelles masses faut-il de chacun ?
Alignement et droite
★★☆$A(-1\,;\,4)$, $B(2\,;\,-2)$. Déterminer l'équation de $(AB)$ puis vérifier si $C(4\,;\,-6)$ est aligné avec $A$ et $B$.
Droites et paramètre
★★★Pour quelle valeur de $k$ les droites $d_1 : y = (k - 1)x + 3$ et $d_2 : y = 2x - 5$ sont-elles parallèles ?
Médiane d'un triangle
★★★$A(0\,;\,4)$, $B(-2\,;\,0)$, $C(6\,;\,0)$. Déterminer l'équation de la médiane issue de $A$.
Deux tarifs
★★☆Location de vélo : tarif A : $2$ € de l'heure + $10$ € ; tarif B : $4$ € de l'heure. Écrire les deux fonctions, puis déterminer par un système la durée pour laquelle les tarifs sont égaux.
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