Statistiques descriptives
Moyenne, médiane, quartiles, étendue, écart interquartile, écart-type et diagrammes en boîte.
1. Vocabulaire
Définition
On étudie un caractère (taille, note, temps…) sur une population. Chaque valeur $x_i$ apparaît avec un effectif $n_i$ ; l'effectif total est $N = n_1 + n_2 + \dots + n_p$. La fréquence de $x_i$ est $f_i = \dfrac{n_i}{N}$.
2. Indicateurs de position
Définition · Moyenne
$$\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N} = f_1 x_1 + f_2 x_2 + \dots + f_p x_p$$Propriété · Linéarité
Si on ajoute $b$ à toutes les valeurs, la moyenne augmente de $b$ ; si on les multiplie par $a$, la moyenne est multipliée par $a$.
Définition · Médiane et quartiles
Les valeurs étant rangées dans l'ordre croissant :
- la médiane $Me$ partage la série en deux groupes de même effectif ;
- le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales ;
- le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $75\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Exemple · Série de 12 notes
6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 17 ; 19.
$N = 12$ : médiane entre la 6e et la 7e valeur, $Me = \dfrac{11 + 12}{2} = 11{,}5$.
$12 \times 0{,}25 = 3$ : $Q_1$ est la 3e valeur, $Q_1 = 9$. $12 \times 0{,}75 = 9$ : $Q_3$ est la 9e valeur, $Q_3 = 14$.
Attention · Moyenne et médiane
La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne. Salaires $1\,500$ ; $1\,600$ ; $1\,700$ ; $10\,000$ : moyenne $3\,700$ €, médiane $1\,650$ €.
3. Indicateurs de dispersion
Définition
- Étendue : $\max - \min$.
- Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$ (il contient environ la moitié centrale des valeurs).
- Écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$ où $V = \dfrac{n_1(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + n_p(x_p - \bar{x})^2}{N}$ est la variance. Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
4. Diagramme en boîte
Méthode · Comparer deux séries
On compare les médianes (position) et les écarts interquartiles (dispersion), ou bien les moyennes et les écarts-types.
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Exercices corrigés
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Moyenne simple
★☆☆Calculer la moyenne de la série : 12 ; 15 ; 8 ; 14 ; 11.
Moyenne pondérée
★☆☆Notes d'un élève : $12$ (coef. 1), $15$ (coef. 3), $9$ (coef. 2). Calculer sa moyenne.
Tableau d'effectifs
★★☆Nombre d'enfants par famille : 0 (4 familles), 1 (7), 2 (6), 3 (2), 4 (1). Calculer la moyenne et la médiane.
Médiane et quartiles
★★☆Série : 3 ; 7 ; 8 ; 5 ; 12 ; 14 ; 21 ; 13 ; 18. Calculer la médiane, $Q_1$, $Q_3$ et l'écart interquartile.
Écart-type
★★☆Série : 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12. Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
Comparer deux classes
★★☆Classe A : moyenne $11$, écart-type $1{,}5$. Classe B : moyenne $11$, écart-type $4$. Comparer.
Effet d'une valeur extrême
★★☆Loyers d'un immeuble : 500 ; 520 ; 540 ; 560 ; 2\,000 €. Calculer moyenne et médiane. Quel indicateur représente le mieux la série ?
Linéarité
★★☆La moyenne d'une série de températures est $15\,{}^\circ\text{C}$. On convertit en °F avec $F = 1{,}8C + 32$. Quelle est la nouvelle moyenne ?
Moyenne à atteindre
★★☆Après 4 contrôles, Lina a $11$ de moyenne. Quelle note doit-elle avoir au 5e (même coefficient) pour avoir $12$ ?
Fréquences
★☆☆Sur $250$ élèves, $85$ viennent à vélo. Quelle est la fréquence, puis le pourcentage ?
Lire un diagramme en boîte
★★☆Temps (en min) mis par des élèves pour venir au lycée :
Donner la médiane, les quartiles et l'écart interquartile. Quelle proportion d'élèves met au moins $32$ min ?
Moyenne par classes
★★☆Tailles (cm) : $[150\,;\,160[$ : 5 élèves ; $[160\,;\,170[$ : 12 ; $[170\,;\,180[$ : 8. Estimer la moyenne en utilisant les centres de classes.
Histogramme
★★☆Avec la série de l'exercice précédent, représenter un histogramme.
Moyenne de deux groupes
★★★$20$ filles ont $13$ de moyenne et $10$ garçons ont $10$. Quelle est la moyenne de la classe ? Pourquoi n'est-ce pas $11{,}5$ ?
Salaires
★★☆Dans une entreprise, le salaire médian est $1\,900$ € et le salaire moyen $2\,400$ €. Que peut-on en déduire ?
Écart-type avec effectifs
★★★Valeurs 8, 10, 12 avec effectifs 1, 2, 1. Calculer moyenne et écart-type.
Comparer avec des boîtes
★★☆Deux diagrammes en boîte : série A (Q? = 10, Me = 12, Q? = 14) ; série B (Q? = 8, Me = 12, Q? = 17). Comparer les deux séries.
Modifier une valeur
★★☆On corrige une erreur dans une série de $10$ valeurs : une valeur $18$ était en réalité $8$. La moyenne était $13$. Quelle est la nouvelle moyenne ? La médiane peut-elle changer ?
Tableur
★☆☆Les notes sont dans les cellules B2 à B31 d'un tableur. Quelles formules donnent la moyenne, la médiane et l'écart-type ?
Vrai ou faux
★★☆a) La médiane est toujours une valeur de la série. b) Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane. c) Si toutes les valeurs sont égales, l'écart-type est nul.
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