Variables aléatoires
Variable aléatoire, loi de probabilité, diagramme en bâtons, espérance et jeu équitable, épreuve de Bernoulli et répétition d'épreuves indépendantes.
1. Variable aléatoire et loi
Définition
Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire (un gain, un nombre de succès…). Sa loi de probabilité donne les valeurs $x_i$ prises par $X$ et les probabilités $P(X = x_i)$, dont la somme vaut $1$.
Exemple · Un jeu de dé
On lance un dé équilibré : on gagne $5$ € avec un $6$, $1$ € avec un $4$ ou un $5$, et on perd $2$ € sinon. Le gain $X$ a pour loi :
| $x_i$ | $-2$ | $1$ | $5$ |
|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
2. Espérance
Définition
L'espérance de $X$ est $E(X) = x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \dots + x_n P(X = x_n)$. C'est la valeur moyenne de $X$ si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.
Exemple
Pour le jeu de dé : $E(X) = -2 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{1}{3} + 5 \times \dfrac{1}{6} = -1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ €. En moyenne, le joueur gagne environ $17$ centimes par partie.
Propriété · Jeu équitable
Un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle ; il est favorable au joueur si $E(X) \gt 0$, défavorable si $E(X) \lt 0$.
3. Épreuves de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1 - p$). La variable qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon a pour espérance $p$.
Propriété · Répétition
Si l'on répète des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on représente la situation par un arbre : on multiplie le long des chemins, puis on additionne les chemins qui réalisent l'événement voulu.
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Exercices corrigés
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Définir une variable aléatoire
★☆☆On tire une carte dans un jeu de $32$ cartes : on gagne $10$ € avec un as, $2$ € avec une figure (roi, dame, valet) et rien sinon. Quelles valeurs prend le gain $X$ ? Donner sa loi.
Loi d'un dé
★☆☆$X$ est le résultat d'un dé équilibré. Donner sa loi et calculer $P(X \geq 5)$.
Compléter une loi
★☆☆$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$, $3$ avec les probabilités $0{,}1$ ; $0{,}4$ ; $0{,}3$ ; $p$. Calculer $p$.
Calculer une espérance
★☆☆Calculer l'espérance de la loi de l'exercice précédent.
Rendre un jeu équitable
★★☆Un jeu rapporte $12$ € avec probabilité $0{,}1$ et $3$ € avec probabilité $0{,}2$, rien sinon. Quelle mise rend le jeu équitable ?
Jeu de grattage
★★☆Sur $1\,000$ tickets à $2$ €, $1$ rapporte $500$ €, $10$ rapportent $50$ €, $100$ rapportent $2$ €. Calculer l'espérance du gain net d'un joueur.
Loi à partir d'une enquête
★★☆Dans une commune, $20\,\%$ des familles ont $0$ enfant, $30\,\%$ en ont $1$, $35\,\%$ en ont $2$, $15\,\%$ en ont $3$. $X$ est le nombre d'enfants d'une famille choisie au hasard. Donner la loi de $X$ et $E(X)$.
Probabilité cumulée
★☆☆Avec l'exercice précédent, calculer $P(X \leq 1)$ et $P(X \geq 2)$.
Reconnaître une épreuve de Bernoulli
★☆☆Les expériences suivantes sont-elles des épreuves de Bernoulli ? a) Lancer une pièce. b) Lancer un dé et noter le résultat. c) Tester une pièce : défectueuse ou non.
Espérance d'une variable de Bernoulli
★☆☆Un patient guérit avec la probabilité $0{,}85$. $X$ vaut $1$ s'il guérit, $0$ sinon. Calculer $E(X)$.
Deux tirs au but
★★☆Un joueur réussit un tir avec la probabilité $0{,}7$ ; il tire deux fois de façon indépendante. $X$ est le nombre de réussites. Donner la loi de $X$ et $E(X)$.
Trois naissances
★★★On suppose qu'une naissance donne une fille avec la probabilité $0{,}5$. Dans une famille de $3$ enfants, quelle est la probabilité d'avoir exactement $2$ filles ?
Assurance
★★★Une assurance coûte $60$ € par an. L'assureur rembourse $2\,000$ € avec la probabilité $0{,}01$ et $500$ € avec la probabilité $0{,}05$. Calculer le gain moyen de l'assureur par contrat.
Contrôle qualité
★★☆Une pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}05$. On en prélève $2$ de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'aucune ne soit défectueuse, puis qu'au moins une le soit.
Interpréter une espérance
★☆☆Le gain d'un jeu a une espérance de $-0{,}5$ €. Que signifie ce nombre ?
Choisir le meilleur jeu
★★☆Jeu A : gagner $10$ € avec probabilité $0{,}2$, perdre $2$ € sinon. Jeu B : gagner $4$ € avec probabilité $0{,}5$, perdre $3$ € sinon. Lequel choisir ?
Valeur inconnue
★★★$X$ prend les valeurs $0$, $10$ et $a$ avec les probabilités $0{,}5$ ; $0{,}3$ ; $0{,}2$. On sait que $E(X) = 7$. Trouver $a$.
Lire un diagramme en bâtons
★☆☆Lire la loi de $X$ sur le diagramme, puis calculer $E(X)$.
Test répété
★★★Un test détecte une infection avec la probabilité $0{,}9$. On le réalise deux fois de façon indépendante sur une personne infectée. Probabilité qu'au moins un test la détecte ?
Vrai ou faux
★★☆a) La somme des probabilités d'une loi vaut $1$. b) Un jeu d'espérance positive est favorable au joueur. c) L'espérance est toujours une valeur prise par $X$.
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