Fonctions polynômes de degré 3
Fonction cube, équation x³ = c et racine cubique, fonctions ax³ + b, forme factorisée a(x ? x?)(x ? x?)(x ? x?), racines, signe et résolution graphique.
1. La fonction cube
Définition
La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. Elle est croissante sur $\mathbb{R}$ (sa dérivée $3x^2$ est positive) et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine : $(-x)^3 = -x^3$.
Propriété · Équation x³ = c
Pour tout réel $c$, l'équation $x^3 = c$ a une unique solution, la racine cubique de $c$, notée $\sqrt[3]{c}$ ou $c^{1/3}$. Exemples : $x^3 = 8 \iff x = 2$ ; $x^3 = -27 \iff x = -3$ ; $x^3 = 10 \iff x = 10^{1/3} \approx 2{,}154$.
Exemple · Volume d'un cube
Un cube de volume $2$ L $= 2\,000$ cm³ a pour arête $\sqrt[3]{2\,000} \approx 12{,}6$ cm.
Exemple · Taux moyen
Un prix augmente de $33{,}1\,\%$ en $3$ ans. Le taux annuel moyen $t$ vérifie $(1 + t)^3 = 1{,}331$, donc $1 + t = 1{,}331^{1/3} = 1{,}1$ : $+10\,\%$ par an.
2. Fonctions ax³ + b
Propriété
Pour $f(x) = ax^3 + b$, on résout $f(x) = 0 \iff x^3 = -\dfrac{b}{a}$. Exemple : $2x^3 - 16 = 0 \iff x^3 = 8 \iff x = 2$.
3. Forme factorisée
Définition
Si $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, les nombres $x_1$, $x_2$, $x_3$ sont les racines de $f$ (solutions de $f(x) = 0$, un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul).
Méthode · Signe d'une forme factorisée
On dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes. Pour $f(x) = 0{,}5(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ :
| $x$ | $]-\infty\,;\,-2[$ | $]-2\,;\,1[$ | $]1\,;\,3[$ | $]3\,;\,+\infty[$ |
|---|---|---|---|---|
| $x + 2$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x - 1$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $f(x)$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ |
Attention
Ne pas oublier le signe du coefficient $a$ : s'il est négatif, tous les signes de la dernière ligne s'inversent.
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Exercices corrigés
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Images par la fonction cube
★☆☆Calculer $(-2)^3$, $0{,}5^3$, $10^3$ et $(-0{,}1)^3$.
Résoudre x³ = c
★☆☆Résoudre : a) $x^3 = 27$ ; b) $x^3 = -8$ ; c) $x^3 = 10$ (arrondir au millième).
Arête d'un cube
★★☆Quelle est l'arête d'un cube de $125$ cm³ ? D'un cube de $2$ L ?
Fonction ax³ + b
★☆☆Résoudre $2x^3 - 16 = 0$ puis $-x^3 + 64 = 0$.
Racines d'une forme factorisée de degré 3
★☆☆Donner les racines de $f(x) = 3(x - 1)(x + 2)(x - 4)$.
Développer un produit de trois facteurs
★★☆Développer $(x - 1)(x + 2)(x - 4)$.
Tableau de signes de degré 3
★★☆Dresser le tableau de signes de $f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$.
Inéquation de degré 3
★★☆Résoudre $-2x(x - 2)(x + 3) \geq 0$.
Retrouver le coefficient
★★★$f$ est de degré 3, a pour racines $-1$, $2$ et $4$ et $f(0) = 16$. Déterminer sa forme factorisée.
Factoriser grâce à une racine
★★★Vérifier que $1$ est racine de $f(x) = x^3 - 7x + 6$ et que $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$.
Comparer des cubes
★☆☆Sans calculatrice, comparer $1{,}2^3$ et $1{,}3^3$, puis $(-3)^3$ et $(-2)^3$.
Variations d'un polynôme de degré 3
★★☆Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x^2$.
Lecture graphique de degré 3
★☆☆Avec la figure du cours ($f(x) = 0{,}5(x + 2)(x - 1)(x - 3)$), résoudre $f(x) = 0$ et $f(x) \gt 0$. Calculer $f(0)$.
Pic d'une épidémie
★★★Le nombre de malades est modélisé par $N(t) = -t^3 + 12t^2 + 100$ pour $t \in [0\,;\,12]$ (semaines). Quand le pic est-il atteint ? Combien de malades alors ?
Symétrie de la fonction cube
★☆☆Sachant que $2{,}5^3 = 15{,}625$, donner $(-2{,}5)^3$. Quelle propriété de la courbe utilise-t-on ?
Encadrer une racine cubique
★★☆Encadrer $\sqrt[3]{10}$ entre deux entiers, puis au dixième.
Taux annuel moyen
★★★Le budget d'un service a augmenté de $33{,}1\,\%$ en $3$ ans. Quel est le taux d'évolution annuel moyen ?
Inéquation x³ > c
★☆☆Résoudre $x^3 \gt 64$ puis $x^3 \leq -1$.
Comparer x³ et x
★★★Factoriser $x^3 - x$ et en déduire, pour $x \geq 0$, quand $x^3 \leq x$.
Vrai ou faux
★★☆a) L'équation $x^3 = -5$ n'a pas de solution. b) La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. c) $2(x - 1)(x + 1)(x - 4)$ a trois racines.
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