Tableaux croisés et probabilités conditionnelles
Tableaux croisés d'effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, probabilité conditionnelle, arbres pondérés, probabilités totales, tests de dépistage (sensibilité, spécificité).
1. Tableau croisé d'effectifs
Définition
Un tableau croisé répartit une population selon deux caractères. On en déduit des fréquences :
- marginale : effectif total d'une ligne (ou d'une colonne) divisé par l'effectif total ;
- conditionnelle : effectif d'une case divisé par l'effectif total de sa ligne (ou de sa colonne).
Exemple · Test de dépistage
| Test positif | Test négatif | Total | |
|---|---|---|---|
| Malades | 45 | 5 | 50 |
| Non malades | 30 | 920 | 950 |
| Total | 75 | 925 | 1 000 |
Fréquence marginale des malades : $\dfrac{50}{1\,000} = 0{,}05$. Fréquence des malades parmi les tests positifs (conditionnelle) : $\dfrac{45}{75} = 0{,}6$.
Attention · L'ordre compte
La part des tests positifs parmi les malades ($\dfrac{45}{50} = 0{,}9$) n'est pas la part des malades parmi les tests positifs ($\dfrac{45}{75} = 0{,}6$) : on ne divise pas par le même total.
2. Probabilités conditionnelles
Définition
Si l'on choisit un individu au hasard, les fréquences deviennent des probabilités. La probabilité de $B$ sachant $A$ (avec $P(A) \neq 0$) est :
$$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad \text{donc} \qquad P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$$Définition · Sensibilité et spécificité
- Sensibilité d'un test : probabilité d'un test positif sachant que la personne est malade ($\dfrac{45}{50} = 0{,}9$ ici).
- Spécificité : probabilité d'un test négatif sachant que la personne est saine ($\dfrac{920}{950} \approx 0{,}97$).
3. Arbres pondérés
Propriété · Règles
- La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées.
- Probabilités totales : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$.
Exemple
$P(T) = 0{,}05 \times 0{,}9 + 0{,}95 \times \dfrac{30}{950} = 0{,}045 + 0{,}03 = 0{,}075$. Puis $P_T(M) = \dfrac{0{,}045}{0{,}075} = 0{,}6$ : on retrouve le résultat du tableau.
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Fréquence marginale
★☆☆Dans un lycée de $500$ élèves : $180$ filles demi-pensionnaires, $80$ filles externes, $150$ garçons demi-pensionnaires, $90$ garçons externes. Dresser le tableau croisé et calculer la fréquence des demi-pensionnaires.
Fréquence conditionnelle
★☆☆Avec le lycée précédent, calculer la fréquence des demi-pensionnaires parmi les filles, puis celle des filles parmi les demi-pensionnaires.
Ne pas confondre
★★☆Expliquer pourquoi les deux résultats de l'exercice précédent sont différents.
Compléter un tableau croisé
★★☆Un magasin a $1\,200$ clients ; $40\,\%$ ont une carte de fidélité. $75\,\%$ des porteurs de carte et $30\,\%$ des autres dépensent plus de $50$ €. Dresser le tableau croisé.
Probabilité d'une intersection
★☆☆On choisit un élève au hasard dans le lycée de l'exercice 1. Quelle est la probabilité qu'il soit une fille demi-pensionnaire ?
Appliquer la formule
★★☆$P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$. Calculer $P_A(B)$.
Calculer P(A ? B)
★☆☆$P(A) = 0{,}3$ et $P_A(B) = 0{,}6$. Calculer $P(A \cap B)$.
Vaccination
★★☆$70\,\%$ d'une population est vaccinée. Un vacciné tombe malade avec la probabilité $0{,}02$, un non-vacciné avec la probabilité $0{,}15$. Construire l'arbre et calculer $P(M)$.
Malade et vacciné ?
★★★Avec l'exercice précédent, un malade est choisi au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit vacciné ?
Sensibilité et spécificité
★★☆Sur $200$ malades, un test est positif $180$ fois ; sur $1\,800$ personnes saines, il est négatif $1\,710$ fois. Calculer la sensibilité et la spécificité.
Valeur prédictive positive
★★★Avec l'exercice précédent, quelle est la probabilité qu'une personne au test positif soit malade ?
Maladie rare et faux positifs
★★★Le même test (sensibilité $0{,}9$, spécificité $0{,}95$) est utilisé sur $10\,000$ personnes dont $1\,\%$ sont malades. Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Commenter.
Lire un arbre
★☆☆Dans l'arbre du cours (dépistage), quelle est la probabilité qu'une personne soit saine et ait un test négatif ?
Satisfaction des patients
★★☆Aux urgences, $120$ patients sur $200$ sont satisfaits ; en consultation, $270$ sur $300$. Calculer $P_U(S)$, $P_C(S)$ et $P(S)$ pour un patient choisi parmi les $500$.
Pourcentage d'un pourcentage
★★☆$60\,\%$ des salariés sont des femmes et $25\,\%$ des femmes sont cadres. Quel pourcentage des salariés sont des femmes cadres ?
Du tableau à l'arbre
★★☆Traduire le tableau du lycée (exercice 1) en arbre : première étape fille/garçon, seconde étape demi-pensionnaire ou non.
Événement contraire
★☆☆$P_A(B) = 0{,}35$. Calculer $P_A(\overline{B})$.
Deux machines
★★☆La machine A fabrique $60\,\%$ des pièces, dont $3\,\%$ défectueuses ; la machine B le reste, dont $5\,\%$ défectueuses. Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
Origine d'un défaut
★★★Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine A ?
Vrai ou faux
★★☆a) $P_A(B) = P_B(A)$ en général. b) Les probabilités issues d'un nœud ont pour somme $1$. c) $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
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