Statistiques à deux variables
Séries statistiques à deux variables : nuage de points, point moyen, ajustement affine (méthode de Mayer, moindres carrés), prévisions, ajustement exponentiel par changement de variable, corrélation et causalité.
1. Nuage de points et point moyen
Définition
Une série à deux variables $(x_i\,;\,y_i)$ se représente par un nuage de points. Son point moyen est $G(\overline{x}\,;\,\overline{y})$. Si les points sont « presque alignés », on peut réaliser un ajustement affine $y = ax + b$.
2. Droites d'ajustement
Méthode · Méthode de Mayer
On partage le nuage en deux groupes, on calcule leurs points moyens $G_1$ et $G_2$ ; la droite d'ajustement est $(G_1G_2)$, qui passe aussi par $G$.
Propriété · Méthode des moindres carrés
La calculatrice ou le tableur (fonction DROITEREG) donne la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux. Elle passe par le point moyen $G$.
Exemple
Série : $x$ = 1 à 6 ; $y$ = 3, 5, 6, 8, 10, 11. Moindres carrés : $y \approx 1{,}63x + 1{,}47$ ; prévision au rang $8$ : $y \approx 14{,}5$.
Attention · Prudence
Une prévision loin des données observées (extrapolation) est risquée. Une forte corrélation entre deux variables ne prouve pas que l'une est la cause de l'autre.
3. Ajustement exponentiel
Méthode · Changement de variable
Si $y$ semble évoluer à taux constant (points non alignés, croissance de plus en plus rapide), on pose $z = \log y$ : si les points $(x\,;\,z)$ sont alignés selon $z = ax + b$, alors $y = 10^b \times (10^a)^x$, modèle de la forme $y = k \times q^x$.
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Exercices corrigés
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Décrire un nuage
★☆☆Un nuage de points « monte » de façon régulière et les points sont presque alignés. Quel ajustement envisager ?
Calculer un point moyen
★☆☆Série : $x$ = 2 ; 4 ; 6 ; 8 et $y$ = 10 ; 14 ; 17 ; 23. Point moyen ?
Vérifier une droite
★☆☆La droite $y = 2{,}1x + 5{,}5$ passe-t-elle par $G(5\,;\,16)$ ?
Droite par deux points moyens
★★☆$G_1(2\,;\,4)$ et $G_2(6\,;\,10)$. Équation de $(G_1G_2)$ ?
Méthode de Mayer
★★★Série du cours ($x$ = 1 à 6 ; $y$ = 3, 5, 6, 8, 10, 11). Avec deux groupes de trois points, déterminer la droite de Mayer.
Moindres carrés
★★☆À la calculatrice, la droite des moindres carrés de la série du cours est $y = 1{,}63x + 1{,}47$. Prévoir $y$ pour $x = 8$ et $x = 20$. Commenter.
Interpoler ou extrapoler
★★☆Les données vont de $x = 1$ à $x = 6$. Estimer $y$ pour $x = 3{,}5$ est-il une interpolation ou une extrapolation ?
Corrélation et causalité
★☆☆Dans une ville, ventes de glaces et coups de soleil augmentent ensemble. Les glaces causent-elles les coups de soleil ?
Lire un ajustement
★★☆La consommation d'une voiture est modélisée par $y = 0{,}05x + 1{,}5$ (L/100 km, $x$ vitesse en km/h). Consommation à $110$ km/h ? À quelle vitesse consomme-t-on $6$ L/100 km ?
Ajustement exponentiel
★★★Série : $x$ = 0, 1, 2, 3 et $y$ = 100, 150, 225, 337,5. Montrer que $y$ est multiplié par un même nombre et proposer un modèle.
Écarts au modèle
★★☆Avec $y = 1{,}63x + 1{,}47$, calculer l'écart entre la valeur observée et la valeur du modèle pour $x = 4$ ($y = 8$).
Lire un nuage
★☆☆Sur la figure du cours, combien de points comporte le nuage ? Où se situe $G$ par rapport à la droite ?
Prévoir une date
★★☆Un effectif est modélisé par $y = 2{,}5x + 40$ ($x$ : rang de l'année, $x = 0$ en 2020). En quelle année dépassera-t-il $80$ ?
Taille et masse
★★☆Dans un groupe d'adultes, la masse (kg) est ajustée par $y = 0{,}9x - 85$, $x$ étant la taille (cm). Estimer la masse d'une personne de $175$ cm.
Avec un tableur
★☆☆Quelle fonction de tableur donne les coefficients de la droite des moindres carrés ?
Point aberrant
★★☆Un point est très éloigné des autres à cause d'une erreur de saisie. Quel effet sur la droite des moindres carrés ? Que faire ?
Vrai ou faux
★★☆a) La droite des moindres carrés passe par $G$. b) Une forte corrélation prouve une relation de cause à effet. c) Une extrapolation lointaine est sûre.
Ajustement et pourcentage
★★☆Un modèle donne $y = 3x + 50$. De quel pourcentage $y$ augmente-t-il entre $x = 0$ et $x = 10$ ?
Utiliser la droite d'ajustement
★☆☆Avec $y = 1{,}2x + 4$, pour quelle valeur de $x$ prévoit-on $y = 10$ ?
Choisir un ajustement
★★☆Les valeurs d'une série sont multipliées par environ $1{,}2$ à chaque rang. Ajustement affine ou exponentiel ?
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