Loi binomiale et prise de décision
Probabilités conditionnelles et arbres, schéma de Bernoulli, loi binomiale, calculs à la calculatrice, espérance et écart type, intervalle de fluctuation et prise de décision à partir d'un échantillon.
1. Probabilités conditionnelles
Propriété
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, donc $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$. Dans un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins menant à un même événement (probabilités totales) : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$.
2. Loi binomiale
Définition
On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$). Le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$. Les probabilités s'obtiennent à la calculatrice ($P(X = k)$ : binomFdp ; $P(X \leq k)$ : binomFRép), ou par $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$.
Propriété · Espérance et écart type
$E(X) = np$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.
3. Prise de décision
Méthode · Intervalle de fluctuation
Si la proportion d'un caractère dans une population est $p$, la fréquence $f$ observée sur un échantillon de taille $n$ (avec $n \geq 25$ et $0{,}2 \leq p \leq 0{,}8$) appartient, dans environ $95\,\%$ des cas, à $$I = \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$$ Si $f \notin I$, on rejette l'hypothèse « la proportion est $p$ » au risque de $5\,\%$ de se tromper ; sinon, on ne la rejette pas.
Exemple
On suppose $p = 0{,}25$ ; sur $n = 400$ personnes, $I = [0{,}20\,;\,0{,}30]$. Si l'on observe $f = 0{,}33$, on rejette l'hypothèse.
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Exercices corrigés
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Espérance
★☆☆Un vaccin est efficace dans $90\,\%$ des cas. On vaccine $200$ personnes. Combien de personnes protégées peut-on attendre en moyenne ?
Au moins un
★★☆La probabilité qu'un tube de prélèvement soit défectueux est $0{,}01$. Sur $50$ tubes, quelle est la probabilité d'en avoir au moins un défectueux ?
Décision
★★★Dans une région, la proportion de fumeurs est supposée être $25\,\%$. Sur un échantillon de $400$ personnes, on compte $120$ fumeurs. Peut-on remettre en cause la proportion annoncée ?
Calculer une probabilité conditionnelle
★☆☆$P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$. Calculer $P_A(B)$.
Probabilités totales
★★☆$60\,\%$ des patients ont plus de $50$ ans ; $30\,\%$ d'entre eux et $10\,\%$ des autres sont hypertendus. Probabilité qu'un patient soit hypertendu ?
Inverser un arbre
★★★Avec l'exercice précédent, un patient est hypertendu. Probabilité qu'il ait plus de $50$ ans ?
Reconnaître un schéma de Bernoulli
★☆☆On lance $10$ fois un dé et on compte les « 6 ». Quelle loi suit ce nombre ?
Calculer P(X = 1)
★★☆$X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$. Calculer $P(X = 1)$.
Probabilité cumulée
★★☆$X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$. À la calculatrice, $P(X \leq 2)$ ? $P(X \geq 3)$ ?
Moyenne et écart type
★☆☆$X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}2)$. Espérance et écart type ?
Aucune pièce défectueuse
★★☆$2\,\%$ des pièces sont défectueuses. On en contrôle $50$. Probabilité qu'aucune ne soit défectueuse ?
Questionnaire au hasard
★★☆Un questionnaire comporte $8$ questions vrai/faux. On répond au hasard. Probabilité d'avoir au moins $6$ bonnes réponses ?
Calculer un intervalle de fluctuation
★★☆$p = 0{,}25$ et $n = 400$. Intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ ?
Un dé est-il équilibré ?
★★☆Sur $100$ lancers, un dé donne $30$ fois « 6 ». Peut-on penser qu'il est truqué ? (Utiliser $p \approx 0{,}17$.)
Taille d'échantillon
★★★Quelle taille d'échantillon faut-il pour que l'intervalle de fluctuation ait une amplitude de $0{,}04$ ?
Test de dépistage
★★☆$5\,\%$ d'une population est malade. Le test est positif chez $95\,\%$ des malades et $3\,\%$ des non-malades. Probabilité d'un test positif ?
Lire le diagramme
★☆☆Sur le diagramme du cours, quelle est la valeur la plus probable de $X$ ? Pourquoi les barres sont-elles très petites au-delà de $12$ ?
Fiabilité d'un appareil
★★☆Un appareil tombe en panne un mois donné avec la probabilité $0{,}05$, indépendamment des autres mois. Probabilité qu'il fonctionne sans panne pendant $12$ mois ?
Gain moyen
★★☆Un jeu consiste à lancer $5$ fois une pièce ; on gagne $2$ € par « pile » et on paie $4$ € pour jouer. Espérance du gain net ?
Vrai ou faux
★★☆a) $E(X) = np$. b) Une fréquence hors de l'intervalle de fluctuation prouve avec certitude que $p$ est faux. c) L'intervalle se resserre quand $n$ augmente.
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