Fonctions exponentielles
Fonctions x ? q? (q > 0) : définition, propriétés algébriques, racine n-ième, variations, modélisation de croissances et décroissances ; fonction exponentielle de base e et modèles e^(kt).
1. Les fonctions x ? q?
Définition
Pour $q \gt 0$, la fonction $x \mapsto q^x$ prolonge à tous les réels la suite géométrique $q^n$. Elle est définie sur $\mathbb{R}$, strictement positive, et $q^0 = 1$.
Propriété · Propriétés algébriques
Pour tous réels $x$, $y$ : $q^{x + y} = q^x \times q^y$ ; $q^{-x} = \dfrac{1}{q^x}$ ; $q^{x - y} = \dfrac{q^x}{q^y}$ ; $(q^x)^y = q^{xy}$. En particulier, $q^{1/n} = \sqrt[n]{q}$ est la racine $n$-ième de $q$ : $8^{1/3} = 2$.
Propriété · Variations
Si $q \gt 1$, $x \mapsto q^x$ est strictement croissante ; si $0 \lt q \lt 1$, elle est strictement décroissante ; si $q = 1$, elle est constante.
2. Modéliser des évolutions
Exemple · Bactéries
Une population de $500$ bactéries double toutes les heures : $N(t) = 500 \times 2^t$ ($t$ en heures, même non entier). Après $1$ h $30$ : $N(1{,}5) = 500 \times 2^{1{,}5} \approx 1\,414$.
Exemple · Taux équivalent
Doubler en une heure, c'est multiplier par $2^{0{,}5} \approx 1{,}414$ toutes les demi-heures, soit $+41{,}4\,\%$ par demi-heure.
3. La fonction exponentielle de base e
Définition
Il existe un nombre $e \approx 2{,}718$ tel que la fonction $x \mapsto e^x$ soit sa propre dérivée. Les modèles de la forme $f(t) = Ae^{kt}$ sont croissants si $k \gt 0$ et décroissants si $k \lt 0$ ; leur dérivée est $f'(t) = kAe^{kt}$.
Exemple · Médicament
$C(t) = 50e^{-0{,}2t}$ (mg/L) : $C'(t) = -10e^{-0{,}2t} \lt 0$, la concentration diminue ; $C(5) = 50e^{-1} \approx 18{,}4$ mg/L.
S'entraîner
Exercices corrigés
🎓 20 exercices corrigés et un quiz vous attendent dans ce chapitre.
Créez votre compte gratuit pour voir les corrections, faire les quiz et suivre votre progression.
Propriétés des puissances
★☆☆Écrire sous la forme $q^x$ : $2^3 \times 2^{0{,}5}$ ; $\dfrac{3^{2{,}5}}{3^{0{,}5}}$ ; $(1{,}5^2)^3$.
Racines n-ièmes
★☆☆Calculer $8^{1/3}$, $81^{1/4}$ et $1{,}21^{0{,}5}$.
Variations de fonctions puissances
★☆☆Donner le sens de variation de $x \mapsto 1{,}3^x$, $x \mapsto 0{,}7^x$ et $x \mapsto 5 \times 0{,}9^x$.
Lecture graphique
★☆☆Sur la figure du cours, résoudre graphiquement $2^x = 4$ et $0{,}5^x = 4$.
Croissance bactérienne
★★☆$N(t) = 500 \times 2^t$. Combien de bactéries au bout de $3$ h $30$ ?
Taux par demi-heure
★★☆Une grandeur double chaque heure. Quel est son taux d'évolution par demi-heure ? par quart d'heure ?
Concentration d'un médicament
★★☆$C(t) = 80 \times 0{,}85^t$ ($t$ en h). Calculer $C(2{,}5)$. La concentration augmente-t-elle ?
Comparer deux croissances
★★☆Comparer $1{,}5^x$ et $2^x$ pour $x \gt 0$, puis pour $x \lt 0$.
Modèle e^(kt)
★★☆$f(t) = 100e^{-0{,}1t}$. Calculer $f(0)$, $f(10)$ et le sens de variation.
Inéquation graphique
★★☆À l'aide d'un tableau de valeurs, résoudre $0{,}8^x \lt 0{,}5$ pour $x \geq 0$ (au dixième).
Tableur
★☆☆Dans un tableur, $A2$ contient $t$. Quelle formule écrire en $B2$ pour calculer $500 \times 1{,}2^t$ ?
Placement sur une durée non entière
★★☆Un capital de $1\,000$ € croît de $3\,\%$ par an. Valeur au bout de $2$ ans et demi ?
Refroidissement
★★☆$T(t) = 20 + 60 \times 0{,}9^t$ ($t$ en min). Calculer $T(0)$, $T(10)$. Vers quelle valeur tend $T$ ?
Taux moyen avec une puissance
★★☆Un effectif a augmenté de $30\,\%$ en $4$ ans. Taux annuel moyen ?
Équation q^x = q^y
★☆☆Résoudre $2^{3x - 1} = 2^5$.
Dérivée d'un modèle exponentiel
★★★$f(t) = 50e^{-0{,}2t}$. Calculer $f'(t)$ et interpréter son signe. Que vaut $f'(0)$ ?
Vrai ou faux
★★☆a) $2^x$ peut être négatif. b) $0{,}5^x$ est décroissante. c) $q^{1/2} = \sqrt{q}$.
Lire un modèle
★☆☆Un effectif est modélisé par $f(t) = 200 \times 1{,}05^t$ ($t$ en années). Que représentent $200$ et $1{,}05$ ?
Comparer q? à 1
★★☆Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $0{,}6^x \lt 1$ ?
Placement sur sept ans et demi
★★☆Un capital de $5\,000$ € croît de $2\,\%$ par an. Valeur après $7{,}5$ ans ?
Vérifier
Avez-vous bien compris ?
Répondez au quiz : la correction s'affiche immédiatement.