Suites et évolutions
Suites géométriques et évolutions en pourcentage constant, terme général, variations, sommes de termes, taux d'évolution moyen, recherche de seuil, comparaison avec une évolution linéaire.
1. Suites géométriques
Définition
Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q \times u_n$ pour tout $n$. Alors $u_n = u_0 \times q^n$. Une évolution de $t\,\%$ répétée correspond à $q = 1 + \dfrac{t}{100}$.
Propriété · Sens de variation
Pour $u_0 \gt 0$ : si $q \gt 1$, la suite est croissante ; si $0 \lt q \lt 1$, elle est décroissante.
Propriété · Somme de termes
Pour $q \neq 1$ : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, donc $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
2. Taux d'évolution moyen
Définition
Si une grandeur est multipliée par $CM$ en $n$ périodes, le taux d'évolution moyen $t_m$ par période vérifie $(1 + t_m)^n = CM$, soit $$1 + t_m = CM^{1/n}$$
Exemple
Une hausse de $44\,\%$ en $2$ ans : $1{,}44^{1/2} = 1{,}2$, soit $+20\,\%$ par an en moyenne (et non $22\,\%$).
3. Seuils
Méthode · Déterminer un seuil
Pour savoir quand $500 \times 1{,}04^n$ dépasse $1\,000$, on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice, un tableur ou un algorithme :
u, n = 500, 0
while u <= 1000:
u = u * 1.04
n = n + 1
print(n)On obtient $n = 18$ ($1{,}04^{17} \approx 1{,}95$ et $1{,}04^{18} \approx 2{,}03$).
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Reconnaître une suite géométrique
★☆☆Les suites suivantes sont-elles géométriques ? a) $3, 6, 12, 24$ ; b) $5, 10, 15, 20$ ; c) $200, 180, 162, 145{,}8$.
Terme général
★☆☆$u_0 = 500$ et $q = 1{,}04$. Calculer $u_{10}$.
Raison à partir de deux termes
★★☆$(u_n)$ est géométrique de raison positive avec $u_2 = 180$ et $u_4 = 145{,}8$. Raison ?
Sens de variation
★☆☆Donner le sens de variation de $u_n = 300 \times 0{,}95^n$ et de $v_n = 20 \times 1{,}3^n$.
Population d'une ville
★★☆Une ville de $8\,000$ habitants gagne $2{,}5\,\%$ d'habitants par an. Population dans $10$ ans ?
Élimination d'un médicament
★★☆On injecte $400$ mg d'un médicament dont $20\,\%$ est éliminé chaque heure. Quantité restante après $5$ h ?
Somme géométrique
★★☆Calculer $1 + 1{,}1 + 1{,}1^2 + \dots + 1{,}1^9$.
Production cumulée
★★★Une usine produit $1\,000$ unités la première année, puis $5\,\%$ de plus chaque année. Production totale sur $10$ ans ?
Taux moyen sur deux ans
★★☆Un prix a augmenté de $44\,\%$ en deux ans. Taux annuel moyen ?
Taux moyen sur cinq ans
★★☆Un chiffre d'affaires a été multiplié par $1{,}5$ en $5$ ans. Taux annuel moyen ?
Seuil à la calculatrice
★★☆À partir de quel rang $500 \times 1{,}04^n$ dépasse-t-il $1\,000$ ?
Seuil avec un algorithme
★★☆Écrire un algorithme qui détermine au bout de combien d'années un capital de $2\,000$ € placé à $3\,\%$ dépasse $3\,000$ €. Résultat ?
Comparer deux modèles
★★★Offre A : $2\,000$ € puis $+150$ € par an. Offre B : $2\,000$ € puis $+6\,\%$ par an. À partir de quelle année B dépasse-t-elle A ?
Lire un graphique
★☆☆Sur la figure du cours, laquelle des deux suites est arithmétique ? À partir de quel rang $v_n \gt u_n$ ?
Dépréciation d'une voiture
★★☆Une voiture de $20\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur par an. Valeur après $3$ ans ?
Baisses successives
★★☆Un effectif baisse de $10\,\%$ par an pendant $3$ ans. Baisse globale ? Quelle hausse permettrait de revenir au niveau initial ?
Taux mensuel équivalent
★★★Quel taux mensuel donne $6\,\%$ par an ?
Demi-vie et suite
★★☆La concentration d'un médicament est divisée par $2$ toutes les $6$ h. Avec $C_0 = 80$ mg/L, exprimer $C_n$ après $n$ périodes de $6$ h, puis $C$ après $24$ h.
Somme de termes arithmétiques
★★☆On économise $100$ € le premier mois, puis $20$ € de plus chaque mois. Total des $10$ premiers mois ?
Vrai ou faux
★★☆a) Deux hausses de $10\,\%$ font $+20\,\%$. b) $u_n = 3 \times 0{,}8^n$ est décroissante. c) Le taux moyen de $+21\,\%$ en deux ans est $+10\,\%$ par an.
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