Automatismes
Automatismes de Terminale technologique : pourcentages et taux moyen, suites géométriques, fonctions q? et logarithme décimal, dérivées, lectures graphiques, statistiques à deux variables, loi binomiale.
Méthode · Comment travailler les automatismes
Ces questions se traitent sans calculatrice et en moins d'une minute chacune, comme dans la partie « automatismes » des épreuves. Entraînez-vous par séries courtes et régulières ; repérez vos erreurs récurrentes.
1. Évolutions
Propriété
Taux moyen sur $n$ périodes : $1 + t_m = CM^{1/n}$. Suite géométrique : $u_n = u_0 q^n$.
2. Fonctions
Propriété
$q^{x+y} = q^xq^y$ ; $\log(ab) = \log a + \log b$ ; $\log(10^n) = n$ ; $q^x = a \iff x = \dfrac{\log a}{\log q}$. Dérivées des polynômes et de $\dfrac{1}{x}$.
3. Probabilités et statistiques
Propriété
Point moyen $G(\overline{x}\,;\,\overline{y})$ ; loi binomiale : $E = np$.
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Exercices corrigés
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Série 1 : taux d'évolution
★☆☆a) De $250$ à $300$ ; b) de $300$ à $250$ ; c) $CM = 1{,}35$ ; d) $CM = 0{,}6$.
Série 2 : taux moyen
★★☆a) $+21\,\%$ en $2$ ans : taux annuel moyen ; b) $\times 8$ en $3$ ans : taux moyen ? c) $+44\,\%$ en $2$ ans ?
Série 3 : suites géométriques
★☆☆a) $u_0 = 400$, $q = 0{,}5$ : $u_3$ ; b) $u_0 = 10$, $q = 2$ : $u_5$ ; c) nature de $u_n = 3 \times 1{,}1^n$.
Série 4 : sommes
★★☆a) $1 + 2 + 4 + 8 + 16$ ; b) $1 + q + q^2$ pour $q = 0{,}5$ ; c) $5 + 10 + 15 + \dots + 50$.
Série 5 : puissances
★☆☆a) $8^{1/3}$ ; b) $16^{0{,}5}$ ; c) $2^{-1}$ ; d) $1{,}5^0$.
Série 6 : fonctions q?
★☆☆a) Sens de variation de $0{,}8^x$ ; b) de $1{,}2^x$ ; c) $f(x) = 100 \times 2^x$ : $f(3)$ ; d) $f(0)$.
Série 7 : logarithme décimal
★☆☆a) $\log 1\,000$ ; b) $\log 0{,}01$ ; c) $\log 1$ ; d) $10^{\log 7}$.
Série 8 : propriétés du log
★☆☆Avec $\log 2 \approx 0{,}3$ : a) $\log 4$ ; b) $\log 20$ ; c) $\log 0{,}5$ ; d) $\log 8$.
Série 9 : résoudre q? = a
★★☆Exprimer la solution : a) $10^x = 50$ ; b) $2^x = 10$ ; c) $1{,}5^x = 3$.
Série 10 : pH et décibels
★☆☆a) pH si $[\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-5}$ ; b) $[\text{H}_3\text{O}^+]$ si pH $= 8$ ; c) intensité $\times 10$ : niveau sonore ?
Série 11 : dérivées
★☆☆Dériver : a) $x^3 - 3x^2$ ; b) $\dfrac{5}{x}$ ; c) $4x + 1$ ; d) $2x^2 - x$.
Série 12 : tangente
★★☆$f(x) = x^2$. a) $f'(3)$ ; b) équation de la tangente en $3$.
Série 13 : variations
★★☆$f'(x) = 3(x - 2)(x + 2)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
Série 14 : lecture graphique
★☆☆Avec la figure du cours : a) nombre d'abonnés l'année $5$ (environ) ; b) par combien est-il multiplié entre l'année $0$ et l'année $1$ ?
Série 15 : point moyen
★☆☆$x$ : $1, 2, 3, 4$ ; $y$ : $10, 12, 15, 19$. Point moyen ?
Série 16 : ajustement
★☆☆Avec $y = 3x + 7$ : a) prévision pour $x = 10$ ; b) pour quel $x$ obtient-on $y = 34$ ?
Série 17 : loi binomiale
★☆☆$X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$. a) $E(X)$ ; b) $\sigma(X)$ ; c) $P(X = 0)$ sous forme de puissance.
Série 18 : probabilités conditionnelles
★★☆$P(A) = 0{,}6$, $P_A(B) = 0{,}3$, $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5$. a) $P(A \cap B)$ ; b) $P(B)$.
Série 19 : intervalle de fluctuation
★★☆$p = 0{,}5$, $n = 100$ : intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ ?
Série 20 : questions express
★★☆a) $1{,}1^2$ ; b) $0{,}9^2$ ; c) $\log(10^{-4})$ ; d) $\dfrac{1}{1{,}25}$.
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