Probabilités et fluctuation
Expérience aléatoire, issues et événements, probabilité, équiprobabilité, événement contraire, fréquence observée et fluctuation d'échantillonnage, simulation.
1. Vocabulaire
Définition
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles, sans qu'on puisse prévoir laquelle se produira. Un événement est un ensemble d'issues. Si toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité) : $$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$$
Propriété
$0 \leq P(A) \leq 1$ ; un événement impossible a une probabilité $0$, un événement certain $1$ ; l'événement contraire $\overline{A}$ vérifie $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
2. Fréquences et fluctuation
Propriété
En répétant une expérience, la fréquence observée d'un événement varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.
Activité · Simuler des lancers de pièce
ALEA.ENTRE.BORNES(0;1)) ou calculatrice.S'entraîner
Exercices corrigés
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Issues d'un dé
★☆☆On lance un dé à $6$ faces. Liste des issues ? Probabilité d'obtenir $5$ ?
Nombre pair
★☆☆Avec un dé équilibré, probabilité d'obtenir un nombre pair ? un nombre supérieur ou égal à $5$ ?
Urne
★☆☆Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ vertes et $2$ bleues. Probabilité de tirer une verte ? une rouge ou une bleue ?
Événement contraire
★☆☆La probabilité qu'un rendez-vous soit annulé est $0{,}08$. Probabilité qu'il soit maintenu ?
Impossible et certain
★☆☆Avec un dé : probabilité d'obtenir $7$ ? d'obtenir un nombre entre $1$ et $6$ ?
Jeu de cartes
★★☆On tire une carte dans un jeu de $32$. Probabilité : d'un roi ? d'un cœur ? d'une figure (roi, dame, valet) ?
Fréquence observée
★☆☆Sur $50$ naissances dans une maternité, $27$ filles. Fréquence des filles ?
Fluctuation
★★☆Deux élèves lancent $20$ fois une pièce : l'un obtient $8$ « pile », l'autre $13$. La pièce est-elle truquée ?
Exploiter la simulation
★★☆D'après l'activité du cours, pourquoi faut-il beaucoup de lancers pour estimer une probabilité ?
Estimer une probabilité
★★☆Sur $1\,000$ patients vaccinés, $12$ ont eu une réaction. Estimer la probabilité d'une réaction.
Deux lancers de pièce
★★☆On lance deux fois une pièce. Liste des issues ? Probabilité d'obtenir deux « pile » ? au moins un « pile » ?
Tableau à double entrée
★★★On lance deux dés et on fait la somme. Probabilité d'obtenir $7$ ?
Tirage au sort
★☆☆On tire au sort un délégué parmi $12$ filles et $13$ garçons. Probabilité que ce soit une fille ?
Roue de loterie
★★☆Une roue a $8$ secteurs égaux : $1$ « gagné », $3$ « rejouer », $4$ « perdu ». Probabilité de chaque résultat ?
Compléter des probabilités
★★☆Un sondage : $P(\text{oui}) = 0{,}45$, $P(\text{non}) = 0{,}38$. Probabilité de « sans avis » ?
Fréquence et pourcentage
★☆☆Sur $400$ personnes, $36$ sont gauchères. Fréquence en % ?
Grandes séries
★★☆On relève la proportion de jours de pluie sur $10$ jours puis sur $10$ ans. Laquelle estime le mieux la probabilité qu'il pleuve un jour donné ?
Lire la figure
★☆☆Sur la figure du cours, la fréquence de « pile » finit-elle par valoir exactement $0{,}5$ ?
Équiprobabilité
★★☆Un dé truqué donne $6$ une fois sur trois. Les issues sont-elles équiprobables ? Probabilité de ne pas obtenir $6$ ?
Vrai ou faux
★★☆a) Une probabilité peut valoir $1{,}5$. b) $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. c) Sur $10$ lancers, on obtient toujours $5$ « pile ».
Vérifier
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