Fonctions et représentations graphiques
Notion de fonction, image et antécédent, tableau de valeurs, courbe représentative, lecture graphique, variations, maximum et minimum, fonctions affines et leurs droites.
1. Notion de fonction
Définition
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition un unique nombre $f(x)$, son image. Si $f(a) = b$, $a$ est un antécédent de $b$. La courbe représentative est l'ensemble des points $(x\,;\,f(x))$.
Méthode · Lire une courbe
- Image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée.
- Antécédents de $b$ : on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on cherche les points de la courbe de hauteur $b$ et on lit leurs abscisses.
2. Variations
Propriété
Une fonction est croissante sur un intervalle si sa courbe « monte » (de gauche à droite), décroissante si elle « descend ». On résume dans un tableau de variations ; on y lit maximum et minimum.
3. Fonctions affines
Propriété
$f(x) = ax + b$ : la courbe est une droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$. Si $a \gt 0$, $f$ est croissante ; si $a \lt 0$, décroissante. Si $b = 0$, c'est une fonction linéaire (proportionnalité).
Activité · Tracer une courbe avec la calculatrice
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Exercices corrigés
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Calculer des images
★☆☆$f(x) = 3x - 2$. Calculer $f(0)$, $f(4)$, $f(-1)$.
Fonction carré
★☆☆$g(x) = x^2$. Calculer $g(3)$, $g(-3)$, $g(0{,}5)$.
Antécédent par le calcul
★★☆$f(x) = 3x - 2$. Antécédent de $13$ ?
Tableau de valeurs
★☆☆Compléter pour $h(x) = 2x + 1$ : $x = -2$ ; $0$ ; $1$ ; $3$.
Lire une image
★☆☆Sur la figure du cours, lire $f(0)$, $f(2)$ et $f(4)$.
Lire des antécédents
★★☆Sur la figure du cours, lire les antécédents de $1$ et de $-1$.
Variations graphiques
★☆☆Sur la figure du cours, sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ? croissante ? Minimum ?
Exploiter l'activité
★☆☆Dans l'activité, que vaut $f(6)$ ? Est-ce cohérent avec les variations ?
Résoudre graphiquement
★★☆Sur la figure du cours, résoudre $f(x) \leq 1$.
Fonction affine
★☆☆$f(x) = -2x + 6$. Coefficient directeur ? Ordonnée à l'origine ? Croissante ou décroissante ?
Tracer une droite
★★☆Donner deux points pour tracer la droite de $f(x) = 0{,}5x + 2$.
Fonction linéaire et proportionnalité
★☆☆Le prix de l'essence est $1{,}80$ €/L. Exprimer le prix $p(x)$ de $x$ litres. Quelle fonction ?
Équation d'une droite
★★☆Une droite passe par $(0\,;\,3)$ et $(2\,;\,7)$. Fonction affine associée ?
Abonnement
★★☆Un abonnement de téléassistance coûte $15$ € par mois plus $25$ € de frais d'installation. Coût $C(n)$ pour $n$ mois ? Coût sur un an ?
Point sur une courbe
★☆☆Le point $A(2\,;\,5)$ appartient-il à la courbe de $f(x) = x^2 + 1$ ?
Croissance d'un bébé
★★☆La taille (cm) d'un bébé est modélisée par $t(m) = 2{,}5m + 50$, $m$ en mois ($0 \leq m \leq 6$). Taille à $4$ mois ? À quel âge mesure-t-il $62{,}5$ cm ?
Tableau de variations
★★☆Une fonction croît de $-3$ (en $x = 0$) à $5$ (en $x = 2$), puis décroît jusqu'à $1$ (en $x = 6$). Maximum ? Minimum sur $[0\,;\,6]$ ?
Intersection de deux droites
★★★$f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = -x + 7$. Pour quelle valeur de $x$ ont-elles la même image ?
Tableur
★☆☆En B2, quelle formule calcule $f(x) = 3x^2 - 1$ pour la valeur de $x$ en A2 ?
Vrai ou faux
★★☆a) Un nombre peut avoir plusieurs images. b) Un nombre peut avoir plusieurs antécédents. c) La droite de $f(x) = 3x$ passe par l'origine.
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