Statistique à deux variables
Séries à deux variables, nuage de points, point moyen, ajustement affine, interpolation et extrapolation, utilisation du tableur et de la calculatrice.
1. Nuage de points
Définition
On étudie deux caractères $x$ et $y$ sur les mêmes individus (âge et taille, température et consommation…). Chaque couple $(x_i\,;\,y_i)$ est un point ; l'ensemble forme un nuage de points. Le point moyen est $G(\overline{x}\,;\,\overline{y})$.
2. Ajustement affine
Propriété
Si les points sont presque alignés, on cherche une droite $y = ax + b$ qui les approche (calculatrice, tableur : DROITEREG ou courbe de tendance). Elle passe par $G$. On l'utilise pour estimer des valeurs : à l'intérieur des données (interpolation) ou au-delà (extrapolation, plus risquée).
Activité · Courbe de croissance au tableur
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Exercices corrigés
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Point moyen
★☆☆$x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $75, 86, 94, 102, 108$. Coordonnées de $G$ ?
Lire un nuage
★☆☆Que signifie un nuage de points qui « monte » de gauche à droite ?
Vérifier une droite
★☆☆La droite $y = 8{,}1x + 68{,}5$ passe-t-elle (environ) par $G(3\,;\,93)$ ?
Interpoler
★☆☆Avec $y = 8{,}1x + 68{,}5$, estimer la taille à $2{,}5$ ans.
Extrapoler avec prudence
★★☆Avec la même droite, estimer la taille à $18$ ans. Commenter.
Exploiter l'activité
★★☆Quelle fonction du tableur donne les coefficients de la droite d'ajustement ?
Consommation de chauffage
★★☆Température extérieure $x$ ($°$C) : $0, 5, 10, 15$ ; consommation $y$ (kWh/jour) : $60, 48, 35, 22$. Point moyen ?
Droite par deux points
★★☆Déterminer la droite passant par $(0\,;\,60)$ et $(15\,;\,22)$.
Prévision de consommation
★★☆Avec $y = -2{,}5x + 60$, consommation prévue pour $8\,{}^\circ\text{C}$ ? Pour quelle température consomme-t-on $40$ kWh ?
Corrélation n'est pas causalité
★☆☆Dans une ville, ventes de ventilateurs et ventes de glaces augmentent ensemble. Les ventilateurs font-ils vendre des glaces ?
Nuage sans tendance
★☆☆Un nuage de points est très dispersé sans forme particulière. Un ajustement affine est-il pertinent ?
Fréquence cardiaque et effort
★★☆Vitesse de marche $x$ (km/h) : $2, 4, 6$ ; fréquence cardiaque $y$ : $80, 100, 125$. Point moyen ? Tendance ?
Calculer une moyenne
★☆☆$y$ : $12, 15, 19, 22, 27$. Moyenne ?
Lire la figure
★☆☆Sur la figure du cours, combien de points compte le nuage ? Où est le point moyen par rapport à la droite ?
Coefficient directeur
★★☆Que représente le coefficient $8{,}1$ dans $y = 8{,}1x + 68{,}5$ ?
Ordonnée à l'origine
★★☆Que représenterait $68{,}5$ ? Est-ce réaliste à la naissance ?
Tableur : nuage
★☆☆Quel type de graphique choisir au tableur pour représenter une série à deux variables ?
Compléter un tableau
★★☆Avec $y = 2x + 5$, compléter : $x = 0, 3, 7, 10$.
Prévoir une date
★★☆Le nombre de repas livrés suit $y = 15x + 200$ ($x$ : rang du mois). Quand dépassera-t-on $500$ repas ?
Vrai ou faux
★★☆a) La droite d'ajustement passe par $G$. b) L'extrapolation est toujours fiable. c) Un nuage de points représente deux variables.
Vérifier
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