Probabilités et arbres
Expériences à deux épreuves, arbres et tableaux, probabilité d'un chemin, événements contraires, réunion et intersection, fréquences conditionnelles à partir d'un tableau croisé.
1. Expériences à plusieurs étapes
Propriété · Arbre
On représente une expérience en plusieurs étapes par un arbre. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long du chemin ; on additionne les probabilités des chemins qui mènent au même résultat.
Exemple
Probabilité qu'un résident attrape la grippe : $0{,}7 \times 0{,}1 + 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}07 + 0{,}12 = 0{,}19$.
2. Tableaux croisés
Propriété
Un tableau croisé répartit une population selon deux critères. La fréquence d'un groupe parmi un autre (fréquence conditionnelle) se calcule en divisant par l'effectif de ce dernier groupe.
Activité · Simuler une campagne de vaccination
ALEA()<0,7, puis grippé avec la probabilité $0{,}1$ (vacciné) ou $0{,}4$ (non vacciné). Compter les grippés.S'entraîner
Exercices corrigés
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Lire un arbre
★☆☆Avec l'arbre du cours : probabilité qu'un résident soit vacciné et grippé ?
Non vacciné et grippé
★☆☆Probabilité qu'un résident soit non vacciné et grippé ?
Probabilité totale
★★☆Probabilité qu'un résident attrape la grippe ? Qu'il ne l'attrape pas ?
Exploiter la simulation
★★☆Dans l'activité, combien de grippés non vaccinés attend-on sur $1\,000$ résidents ?
Deux lancers
★☆☆On lance deux fois une pièce. Probabilité d'obtenir deux « face » ?
Tirages avec remise
★★☆Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire deux fois avec remise. Probabilité de deux rouges ?
Tirages sans remise
★★★Même urne, sans remise. Probabilité de deux rouges ?
Compléter un arbre
★☆☆Sur une branche, on lit $0{,}35$. Que vaut la branche complémentaire issue du même nœud ?
Tableau croisé
★★☆Sur $200$ patients : $120$ femmes dont $30$ diabétiques ; $80$ hommes dont $20$ diabétiques. Probabilité qu'un patient soit diabétique ?
Fréquence conditionnelle
★★☆Avec le tableau précédent, proportion de diabétiques parmi les femmes ? parmi les hommes ?
Femme et diabétique
★☆☆Probabilité qu'un patient choisi au hasard soit une femme diabétique ?
Réunion
★★☆$P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}3$, $P(A \cap B) = 0{,}1$. Calculer $P(A \cup B)$.
Code à deux chiffres
★★☆Un code est formé de deux chiffres de $0$ à $9$. Combien de codes ? Probabilité de trouver le bon code au hasard ?
Menu
★☆☆Un menu propose $3$ entrées et $4$ plats. Combien de menus entrée + plat ?
Retard
★★☆Un bus est en retard $1$ jour sur $5$. Sur deux jours indépendants, probabilité qu'il soit à l'heure les deux jours ?
Au moins une fois
★★☆Avec l'exercice précédent, probabilité d'au moins un retard sur deux jours ?
Test de dépistage
★★★$2\,\%$ d'une population est malade ; le test est positif chez $90\,\%$ des malades et $5\,\%$ des non-malades. Probabilité d'un test positif ?
Lecture d'un tableau
★☆☆Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font du sport, dont $10$ filles. Combien de garçons sportifs ?
Événement contraire
★☆☆La probabilité qu'un appareil tombe en panne dans l'année est $0{,}03$. Probabilité qu'il fonctionne toute l'année ?
Vrai ou faux
★★☆a) Dans un arbre, on additionne le long d'un chemin. b) Les branches d'un même nœud ont pour somme $1$. c) $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Vérifier
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