Calcul littéral et équations
Développer, réduire et résoudre des équations du premier degré.
1. Réduire et développer
Définition · Réduire
Réduire une expression, c'est regrouper les termes de même nature : $3x + 5 - x + 2 = 2x + 7$.
Propriété · Distributivité
$k(a + b) = ka + kb$ $\qquad$ $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
Exemple · Double distributivité
$(x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$.
Attention · Le signe moins
$-(a - b) = -a + b$ : un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur.
2. Résoudre une équation
Définition · Équation
Une équation est une égalité contenant une inconnue. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
Propriété · Règles
On obtient une équation équivalente en :
- ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres ;
- multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.
Méthode · Exemple
Résoudre $5x - 3 = 2x + 9$.
$5x - 2x = 9 + 3$ $\quad\Rightarrow\quad 3x = 12$ $\quad\Rightarrow\quad x = 4$.
Vérification : $5 \times 4 - 3 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 17$. ?
3. Mettre un problème en équation
Méthode · Les étapes
- Choisir l'inconnue ;
- traduire l'énoncé par une équation ;
- résoudre ;
- vérifier et conclure par une phrase.
S'entraîner
Exercices corrigés
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Réduire et développer
★☆☆Développer et réduire : $A = 3(2x - 4) - (x - 5)$.
Résoudre des équations
★★☆Résoudre : a) $4x + 7 = 31$ ; b) $3(x - 2) = x + 8$.
Problème
★★★Léo a $3$ fois l'âge de sa sœur. Dans $10$ ans, il aura le double de son âge. Quels sont leurs âges ?
Réduire
★☆☆Réduire : $A = 7x - 3 + 2x + 8$ ; $B = 4x^2 + 3x - x^2 - 5x$ ; $C = 2a \times 3a$.
Supprimer des parenthèses
★☆☆Supprimer les parenthèses et réduire : $D = 5 + (3x - 2)$ ; $E = 5 - (3x - 2)$.
Développer
★☆☆Développer : $-2(3x - 5)$ ; $x(4 - x)$ ; $-(2x + 7)$.
Double distributivité
★★☆Développer et réduire : $F = (x + 3)(x + 4)$ ; $G = (2x - 1)(x + 5)$ ; $H = (x - 2)(x - 6)$.
Factoriser
★★☆Factoriser : $12x + 18$ ; $x^2 + 5x$ ; $7a - 7b$.
Équations simples
★☆☆Résoudre : $x - 8 = 3$ ; $x + 6 = -2$ ; $5x = 35$ ; $\dfrac{x}{4} = 3$.
Équations en deux étapes
★☆☆Résoudre : $3x - 5 = 16$ ; $-2x + 9 = 1$ ; $7 - x = 10$.
Inconnue des deux côtés
★★☆Résoudre : $6x + 1 = 2x + 13$ ; $4x - 7 = 7x + 8$.
Avec parenthèses
★★☆Résoudre : $2(x + 3) = 5x - 9$ ; $4(x - 1) - 3(x + 2) = 0$.
Solution décimale ou fractionnaire
★★☆Résoudre : $4x + 3 = 9$ ; $3x = 2$.
La balance
★☆☆La balance est en équilibre. Chaque boîte a la même masse $x$ (en kg). Écrire l'équation et trouver $x$.
Tester une solution
★☆☆$-2$ est-il solution de $x^2 + 3x + 2 = 0$ ? Et $1$ ?
Nombre mystère
★★☆Si on multiplie un nombre par $5$ et qu'on retire $8$, on obtient le triple de ce nombre augmenté de $4$. Quel est ce nombre ?
Périmètre
★★☆Un rectangle a une longueur égale au double de sa largeur et un périmètre de $54$ cm. Trouver ses dimensions.
Tarifs
★★★Tarif A : $8$ € par entrée. Tarif B : abonnement de $30$ € puis $5$ € par entrée. Pour combien d'entrées les deux tarifs sont-ils égaux ?
Trois nombres consécutifs
★★★La somme de trois nombres entiers consécutifs vaut $162$. Quels sont ces nombres ?
Programme de calcul
★★★Programme : choisir un nombre, lui ajouter $4$, multiplier par $3$, soustraire le triple du nombre de départ. Démontrer que le résultat est toujours le même.
Vrai ou faux
★★☆a) $(x + 3)^2 = x^2 + 9$. b) $2x + 3x = 5x$. c) L'équation $x + 1 = x + 2$ n'a pas de solution.
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