Les puissances
Puissances d'un nombre, puissances de 10 et écriture scientifique.
1. Définition
Définition · Puissance
Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$. On lit « $a$ exposant $n$ ».
Par convention, $a^0 = 1$ (si $a \neq 0$) et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Exemple
$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ ; $\quad (-3)^2 = 9$ ; $\quad -3^2 = -9$ ; $\quad 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$.
Attention · Le signe
$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ : l'exposant ne porte que sur ce qui est juste avant lui.
2. Puissances de 10
Propriété
$10^n = 1\underbrace{0\ldots0}_{n \text{ zéros}}$ et $10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\ldots0}_{n-1}1$.
$10^3 = 1\,000$ ; $\quad 10^{-2} = 0{,}01$.
Propriété · Règles de calcul
$10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ $\qquad \dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ $\qquad (10^m)^n = 10^{m \times n}$
3. Écriture scientifique
Définition
L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \times 10^n$ avec $1 \leq a \lt 10$ et $n$ entier relatif.
Exemple
$45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$ $\qquad 0{,}00032 = 3{,}2 \times 10^{-4}$.
Propriété · Préfixes
kilo (k) $= 10^3$, méga (M) $= 10^6$, giga (G) $= 10^9$ ; milli (m) $= 10^{-3}$, micro ($\mu$) $= 10^{-6}$, nano (n) $= 10^{-9}$.
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Exercices corrigés
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Calculer des puissances
★☆☆Calculer : $4^3$ ; $(-2)^4$ ; $-2^4$ ; $10^{-3}$.
Règles sur les puissances de 10
★★☆Écrire sous la forme $10^n$ : $A = 10^5 \times 10^{-2}$ ; $B = \dfrac{10^3}{10^7}$ ; $C = (10^2)^3$.
Distance Terre–Soleil
★★☆La distance Terre–Soleil est d'environ $150\,000\,000$ km. L'écrire en notation scientifique, puis en mètres.
Écrire sous forme de puissance
★☆☆Écrire sous la forme d'une puissance : $7 \times 7 \times 7 \times 7$ ; $(-2) \times (-2) \times (-2)$ ; $\dfrac{1}{3 \times 3 \times 3}$.
Carrés et cubes
★☆☆Calculer : $6^2$ ; $0{,}5^2$ ; $3^3$ ; $(-1)^{7}$ ; $0^5$ ; $12^0$.
Signe d'une puissance
★★☆Sans calculer, donner le signe de : $(-4)^6$ ; $(-4)^7$ ; $-4^6$ ; $(-0{,}5)^{10}$.
Puissances de 10
★☆☆Écrire en écriture décimale : $10^5$ ; $10^{-4}$ ; $3 \times 10^2$ ; $7{,}2 \times 10^{-3}$.
Écrire comme puissance de 10
★☆☆Écrire sous la forme $10^n$ : $1\,000\,000$ ; $0{,}001$ ; $10$ ; $1$ ; $0{,}000\,01$.
Produits et quotients
★★☆Écrire sous la forme $10^n$ : $10^{-3} \times 10^{8}$ ; $\dfrac{10^{-2}}{10^{5}}$ ; $\dfrac{10^4 \times 10^{-6}}{10^{-3}}$.
Écriture scientifique
★☆☆Donner l'écriture scientifique de : $3\,700$ ; $0{,}045$ ; $602\,000\,000$ ; $0{,}000\,008\,1$.
Corriger une écriture
★★☆Ces écritures ne sont pas scientifiques. Les corriger : $45 \times 10^3$ ; $0{,}7 \times 10^{-2}$ ; $123 \times 10^{-5}$.
Calcul en écriture scientifique
★★☆Calculer et donner le résultat en écriture scientifique : $A = (3 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-7})$ ; $B = \dfrac{8 \times 10^5}{4 \times 10^{-2}}$.
Comparer des nombres
★★☆Ranger dans l'ordre croissant : $3{,}5 \times 10^{-2}$ ; $2 \times 10^{-1}$ ; $9 \times 10^{-3}$ ; $1{,}2 \times 10^{-2}$.
Préfixes
★☆☆Convertir en mètres (écriture scientifique) : $5$ km ; $3$ mm ; $20$ µm ; $400$ nm.
Octets
★★☆Une clé USB a une capacité de $64$ Go ($1$ Go $= 10^9$ octets). Une photo occupe $4$ Mo ($1$ Mo $= 10^6$ octets). Combien de photos peut-on stocker ?
Taille d'une cellule
★★☆Une cellule mesure environ $10$ µm. Combien de cellules alignées faut-il pour faire $1$ cm ?
Lumière
★★★La lumière parcourt $3 \times 10^8$ m en $1$ s. Quelle distance parcourt-elle en une minute ? Donner le résultat en km, en écriture scientifique.
Calcul avec priorités
★★☆Calculer : $C = 2^3 + 3^2 \times 2$ ; $D = (5 - 2^2)^{10}$ ; $E = 10^2 - 10^1 - 10^0$.
Population mondiale
★★☆La population mondiale est d'environ $8 \times 10^9$ habitants. Si chacun boit $1{,}5$ L d'eau par jour, quelle quantité est bue en un jour ? (écriture scientifique)
Carré d'une puissance de 10
★★★Un carré a un côté de $3 \times 10^{-2}$ m. Calculer son aire en écriture scientifique.
Vrai ou faux
★★☆a) $2^3 = 6$. b) $10^{-2} = -100$. c) $5^0 = 1$. d) $10^3 \times 10^2 = 10^6$.
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