Opérations sur les fractions
Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions ; inverse d'un nombre.
1. Addition et soustraction
Méthode · Méthode
On écrit les fractions avec un dénominateur commun, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs :
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$.
2. Multiplication
Propriété
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$Méthode · Simplifier avant de calculer
$\dfrac{6}{35} \times \dfrac{14}{9} = \dfrac{6 \times 14}{35 \times 9} = \dfrac{2 \times 3 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 3 \times 3} = \dfrac{4}{15}$.
3. Inverse et division
Définition · Inverse
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit vaut $1$. L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$).
Propriété · Diviser
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :
$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$Exemple
$\dfrac{3}{5} \div \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$.
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Exercices corrigés
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Additions
★☆☆Calculer : $\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{8}$ ; $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}$.
Fractions négatives
★★☆Calculer : $-\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{6}$.
Produits
★☆☆Calculer : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}$ ; $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ ; $5 \times \dfrac{2}{15}$.
Simplifier avant
★★☆Calculer en simplifiant avant d'effectuer : $\dfrac{21}{10} \times \dfrac{25}{14}$.
Produits avec signes
★★☆Calculer : $-\dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9}$ ; $\left(-\dfrac{2}{7}\right) \times \left(-\dfrac{7}{4}\right)$.
Inverses
★☆☆Donner l'inverse de : $\dfrac{3}{8}$ ; $7$ ; $-\dfrac{1}{4}$ ; $0{,}2$.
Divisions
★★☆Calculer : $\dfrac{4}{5} \div \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{7}{12} \div 7$ ; $3 \div \dfrac{3}{4}$.
Fraction de fraction
★★☆Les $\dfrac{3}{5}$ des élèves d'un collège sont des filles ; les $\dfrac{2}{3}$ d'entre elles font du sport. Quelle fraction des élèves sont des filles sportives ?
Priorités
★★☆Calculer : $A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{9}$.
Parenthèses
★★☆Calculer : $B = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{6}{5}$.
Fraction à étages
★★★Calculer : $C = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{9}}$.
Bouteilles
★★☆Combien de verres de $\dfrac{1}{8}$ L peut-on remplir avec $\dfrac{3}{2}$ L de jus ?
Héritage
★★★Un héritage est partagé : l'aîné reçoit $\dfrac{1}{3}$, le deuxième $\dfrac{1}{4}$ et le troisième reçoit le reste, soit $25\,000$ €. Quel est le montant de l'héritage ?
Aire d'un rectangle
★☆☆Un rectangle mesure $\dfrac{3}{4}$ m sur $\dfrac{2}{5}$ m. Calculer son aire.
Équation
★★★Résoudre $\dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{6}$.
Vitesse
★★☆Un marcheur parcourt $\dfrac{9}{2}$ km en $\dfrac{3}{4}$ h. Quelle est sa vitesse ?
Réservoir
★★☆Un réservoir est rempli aux $\dfrac{3}{5}$. On y ajoute $\dfrac{1}{4}$ de sa capacité. Quelle fraction est remplie ? Que manque-t-il ?
Puissance d'une fraction
★★☆Calculer : $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ ; $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3$.
Comparer
★★★Sans calculatrice, comparer $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{8}{9}$ en calculant leur différence.
Recette
★☆☆Une recette demande $\dfrac{3}{4}$ de tasse de sucre. On triple la recette. Quelle quantité de sucre faut-il ?
Vrai ou faux
★★☆a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$. b) $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2} = 1$. c) Diviser par $\dfrac{1}{2}$ revient à multiplier par $2$.
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