Calculs commerciaux et financiers
Coefficient multiplicateur, évolutions successives et réciproques, TVA et remises, intérêts simples et composés, coût d'un crédit, applications à la gestion d'un budget familial ou d'une structure.
1. Pourcentages et coefficients multiplicateurs
Propriété · Coefficient multiplicateur
Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$, par $CM = 1 - \dfrac{t}{100}$. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients. Le taux d'évolution global vaut $(CM - 1) \times 100$.
Exemple · Deux évolutions successives
$+10\,\%$ puis $-10\,\%$ : $CM = 1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$, soit une baisse de $1\,\%$ (et non $0\,\%$).
Propriété · Évolution réciproque
Pour revenir à la valeur initiale après une évolution de coefficient $CM$, il faut une évolution de coefficient $\dfrac{1}{CM}$. Après $-20\,\%$, il faut $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, soit $+25\,\%$.
2. TVA, remise, prix
Définition
$\text{Prix TTC} = \text{Prix HT} \times (1 + \text{taux de TVA})$. Taux en France : $20\,\%$ (taux normal), $10\,\%$, $5{,}5\,\%$ (alimentation, matériel pour personnes handicapées), $2{,}1\,\%$ (médicaments remboursables).
Méthode · Retrouver un prix HT
$\text{Prix HT} = \dfrac{\text{Prix TTC}}{1 + \text{taux}}$ : un fauteuil roulant à $633$ € TTC (TVA $5{,}5\,\%$) coûte $\dfrac{633}{1{,}055} = 600$ € HT.
3. Intérêts simples et composés
Définition
Intérêts simples : chaque année, on reçoit $C_0 \times t$ ; le capital suit une suite arithmétique $C_n = C_0(1 + nt)$. Intérêts composés : les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour ; $C_n = C_0(1 + t)^n$ (suite géométrique).
Propriété · Coût d'un crédit
Le coût d'un crédit est la différence entre la somme totale remboursée et la somme empruntée : $\text{coût} = n \times \text{mensualité} - \text{capital emprunté}$.
Activité · Comparer deux placements au tableur
=B2+80. C2 : $1000$, C3 : =C2*1,08. Recopier vers le bas.S'entraîner
Exercices corrigés
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Coefficient d'une hausse
★☆☆Donner le coefficient multiplicateur d'une hausse de $3\,\%$, puis d'une baisse de $15\,\%$.
Appliquer une remise
★☆☆Une table à langer coûte $149$ €. Prix après une remise de $20\,\%$ ?
Taux d'évolution
★☆☆Le loyer d'une crèche passe de $1\,800$ € à $1\,890$ €. Taux d'évolution ?
Évolutions successives
★★☆Un prix augmente de $10\,\%$ puis de $20\,\%$. Taux global ?
Hausse puis baisse
★★☆Un prix baisse de $30\,\%$ puis augmente de $30\,\%$. Revient-il à sa valeur initiale ?
Évolution réciproque
★★☆Après une baisse de $25\,\%$, quelle hausse permet de revenir au prix initial ?
Prix TTC
★☆☆Un produit d'entretien coûte $12$ € HT (TVA $20\,\%$). Prix TTC ?
Prix HT
★★☆Un déambulateur coûte $105{,}50$ € TTC (TVA $5{,}5\,\%$). Prix HT ?
Montant de la TVA
★☆☆Montant de la TVA sur une facture de $250$ € HT à $20\,\%$ ?
Médicament
★★☆Un médicament remboursable coûte $7{,}15$ € TTC (TVA $2{,}1\,\%$). Prix HT au centime ?
Intérêts simples
★★☆On place $2\,000$ € à $3\,\%$ par an en intérêts simples. Capital au bout de $5$ ans ?
Intérêts composés
★★☆Même placement en intérêts composés : capital au bout de $5$ ans (au centime) ?
Lecture du graphique
★☆☆D'après la figure du cours, à partir de quelle année les deux placements diffèrent-ils nettement ? Pourquoi ?
Doubler son capital
★★★À $8\,\%$ en intérêts composés, au bout de combien d'années un capital double-t-il ? (calculatrice ou tableur)
Coût d'un crédit
★★☆On emprunte $6\,000$ € remboursés en $24$ mensualités de $268$ €. Coût du crédit ?
Comparer deux crédits
★★★Crédit A : $36$ mensualités de $180$ €. Crédit B : $48$ mensualités de $140$ €. Même somme empruntée de $6\,000$ €. Lequel coûte le moins cher ?
Budget d'une sortie
★★☆Une sortie de crèche coûte $15$ € par enfant pour $12$ enfants, avec une réduction de groupe de $10\,\%$. Coût total ?
Augmentation de salaire
★★☆Un salaire de $1\,750$ € augmente de $2\,\%$ par an pendant $3$ ans. Salaire final ?
Remise et TVA
★★★Un lit médicalisé coûte $900$ € HT. On applique une remise de $10\,\%$ puis la TVA de $5{,}5\,\%$. Prix final ? L'ordre des opérations change-t-il le résultat ?
Évolution globale sur 3 ans
★★★Le nombre de résidents d'un EHPAD évolue de $+5\,\%$, $-2\,\%$ puis $+4\,\%$. Taux d'évolution global (au dixième) ?
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