Statistique à deux variables : ajustement et prévisions
Nuage de points, point moyen, ajustement affine par la méthode des moindres carrés à la calculatrice, coefficient de corrélation, interpolation et extrapolation, ajustement exponentiel par changement de variable.
1. Nuage de points et ajustement
Définition
Une série statistique à deux variables $(x_i\,;\,y_i)$ se représente par un nuage de points. Si les points sont à peu près alignés, on peut réaliser un ajustement affine : on cherche une droite $y = ax + b$ qui passe « au plus près » des points. La droite des moindres carrés, donnée par la calculatrice, passe par le point moyen $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$.
Propriété · Coefficient de corrélation
La calculatrice donne aussi $r$, compris entre $-1$ et $1$. Plus $|r|$ est proche de $1$, plus l'ajustement affine est pertinent (en pratique $|r| \geq 0{,}9$).
2. Prévisions
Méthode · Interpoler et extrapoler
On remplace $x$ (ou $y$) dans l'équation de la droite. Interpoler, c'est estimer à l'intérieur du domaine des données ; extrapoler, à l'extérieur : c'est plus risqué, la tendance pouvant changer.
Exemple · Taille d'un nourrisson
Avec $y = 4{,}47x + 46{,}9$ (le rang $x$ correspond à l'âge en mois divisé par $2$), à $11$ mois ($x = 5{,}5$) : $y \approx 71{,}5$ cm. Prolonger jusqu'à $10$ ans donnerait une taille absurde : la croissance ralentit.
3. Ajustement exponentiel
Propriété · Changement de variable
Si $y$ semble évoluer à pourcentage constant, on pose $z = \log y$ : si les points $(x\,;\,z)$ sont alignés selon $z = ax + b$, alors $y = 10^b \times (10^a)^x$, modèle exponentiel.
Activité · Ajustement à la calculatrice
DROITEREG, COEFFICIENT.CORRELATION).S'entraîner
Exercices corrigés
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Point moyen
★☆☆Calculer le point moyen de $(1\,;\,4)$, $(2\,;\,6)$, $(3\,;\,7)$, $(4\,;\,11)$.
Lire un nuage
★☆☆Sur la figure du cours, les points sont-ils à peu près alignés ? Un ajustement affine est-il justifié ?
Point moyen et droite
★★☆Vérifier que la droite $y = 4{,}47x + 46{,}9$ passe (aux arrondis près) par le point moyen des données du cours ($\bar{x} = 5{,}5$, $\bar{y} = 71{,}5$).
Interpolation
★☆☆Avec $y = 4{,}47x + 46{,}9$, estimer $y$ pour $x = 7{,}5$.
Extrapolation
★★☆Estimer $y$ pour $x = 60$ (soit $10$ ans). Commenter.
Retrouver x
★★☆Avec $y = 4{,}47x + 46{,}9$, pour quelle valeur de $x$ la taille atteint-elle $75$ cm ?
Coefficient de corrélation
★☆☆Deux ajustements ont $r = 0{,}62$ et $r = -0{,}97$. Lequel est le plus fiable ?
Ajustement à la calculatrice
★★☆Données : $x$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ et $y$ : $12$ ; $15$ ; $19$ ; $21$ ; $25$. Donner l'équation de la droite des moindres carrés (au centième).
Prévision de fréquentation
★★☆La fréquentation d'un centre de loisirs suit $y = 12x + 150$ ($x$ : rang de l'année, $x = 1$ en 2021). Prévision pour 2027 ?
Dépenses de santé
★★☆Les dépenses d'un EHPAD (k€) suivent $y = 8{,}5x + 320$. En quelle année ($x = 1$ en 2020) dépasseront-elles $400$ k€ ?
Sens de la droite
★☆☆Le nombre de cigarettes fumées par jour et la capacité respiratoire : $r = -0{,}92$. Interpréter.
Corrélation et causalité
★★☆Les ventes de glaces et le nombre de coups de soleil sont fortement corrélés. Les glaces provoquent-elles les coups de soleil ?
Changement de variable
★★★On a posé $z = \log y$ et obtenu $z = 0{,}1x + 2$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.
Modèle exponentiel
★★★Avec le modèle précédent, prévoir $y$ pour $x = 10$.
Résidu
★★☆Pour $x = 4$, on a relevé $y = 65$ et la droite donne $4{,}47 \times 4 + 46{,}9 \approx 64{,}8$. Écart ?
Choisir un ajustement
★★☆Un nuage de points a la forme d'une courbe qui monte de plus en plus vite. Quel ajustement choisir ?
Tableur
★★☆Quelle fonction de tableur donne le coefficient de corrélation de deux plages A2:A11 et B2:B11 ?
Poids et âge
★★☆Un ajustement donne $m = 2{,}2a + 8$ ($m$ en kg, $a$ en années, entre $1$ et $6$ ans). Masse estimée à $4$ ans ? À $40$ ans ? Commenter.
Lecture inverse
★★☆Avec $y = 12x + 150$, quelle année pour $200$ enfants ?
Vrai ou faux
★★☆a) La droite des moindres carrés passe par le point moyen. b) $r = 1{,}2$ est possible. c) L'extrapolation est toujours fiable.
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