Probabilités conditionnelles et indépendance
Tableau croisé d'effectifs, probabilité conditionnelle, arbre pondéré, formule des probabilités totales, événements indépendants ; applications aux tests de dépistage et à l'efficacité d'un vaccin.
1. Probabilité conditionnelle
Définition
La probabilité de $B$ sachant $A$ (avec $P(A) \neq 0$) est $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$. Dans un tableau croisé d'effectifs, on se restreint à la ligne (ou colonne) de $A$.
Exemple · Tableau croisé
| Vacciné | Non vacciné | Total | |
|---|---|---|---|
| Grippe | 35 | 120 | 155 |
| Pas de grippe | 665 | 180 | 845 |
| Total | 700 | 300 | 1 000 |
$P_V(G) = \dfrac{35}{700} = 0{,}05$ alors que $P_{\overline{V}}(G) = \dfrac{120}{300} = 0{,}4$.
2. Arbre pondéré
Propriété · Règles
La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées : $P(V \cap S) = 0{,}7 \times 0{,}95 = 0{,}665$. Probabilités totales : $P(S) = P(V \cap S) + P(\overline{V} \cap S) = 0{,}665 + 0{,}12 = 0{,}785$.
3. Indépendance
Définition
$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, c'est-à-dire si $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.
Exemple · Vaccin et grippe
$P(G) = 0{,}155$ mais $P_V(G) = 0{,}05$ : les événements ne sont pas indépendants ; la vaccination réduit le risque de grippe.
Attention · Ne pas confondre
$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différents : la probabilité qu'une personne malade ait un test positif n'est pas la probabilité qu'une personne testée positive soit malade.
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Exercices corrigés
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Lire le tableau
★☆☆Dans le tableau du cours, combien de personnes ont eu la grippe ? Probabilité qu'une personne prise au hasard ait eu la grippe ?
Probabilité d'une intersection
★☆☆Probabilité qu'une personne soit vaccinée et n'ait pas eu la grippe ?
Probabilité conditionnelle (tableau)
★★☆Sachant qu'une personne a eu la grippe, probabilité qu'elle soit vaccinée ?
Comparer deux risques
★★☆Calculer le risque de grippe chez les non-vaccinés et chez les vaccinés. Combien de fois plus élevé est-il ?
Compléter un arbre
★☆☆Sur un nœud, deux branches portent $0{,}35$ et $x$. Que vaut $x$ ?
Probabilité d'un chemin
★☆☆Avec l'arbre du cours, calculer $P(\overline{V} \cap S)$.
Probabilités totales
★★☆Avec l'arbre du cours, calculer $P(\overline{S})$ de deux façons.
Inverser le conditionnement
★★★Avec l'arbre du cours, une personne a eu la grippe. Probabilité qu'elle soit vaccinée ?
Test de dépistage
★★★$1\,\%$ d'une population est malade. Le test est positif chez $99\,\%$ des malades et chez $2\,\%$ des personnes saines. Probabilité qu'un test soit positif ?
Valeur prédictive
★★★Suite : une personne est testée positive. Probabilité qu'elle soit malade ? Commenter.
Indépendance (calcul)
★★☆$P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$, $P(A \cap B) = 0{,}2$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Non-indépendance
★★☆$P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}6$, $P(A \cap B) = 0{,}1$. Indépendants ?
Deux lancers de dé
★★☆On lance deux fois un dé. Probabilité d'obtenir deux $6$ ?
Construire un tableau croisé
★★☆Dans une crèche de $60$ enfants, $25$ ont moins de $18$ mois ; parmi eux, $10$ font la sieste deux fois par jour, contre $5$ chez les plus grands. Construire le tableau croisé.
Conditionnelle sur le tableau construit
★★☆Suite : probabilité qu'un enfant fasse deux siestes sachant qu'il a moins de $18$ mois ?
Arbre à construire
★★☆$40\,\%$ des usagers d'un service viennent en bus ; $10\,\%$ des usagers venus en bus sont en retard, contre $5\,\%$ des autres. Probabilité qu'un usager soit en retard ?
Retard et bus
★★★Suite : un usager est en retard. Probabilité qu'il soit venu en bus ?
Événement contraire
★☆☆$P_A(B) = 0{,}85$. Que vaut $P_A(\overline{B})$ ?
Efficacité vaccinale
★★★L'efficacité d'un vaccin est $1 - \dfrac{\text{risque chez les vaccinés}}{\text{risque chez les non-vaccinés}}$. La calculer avec le tableau du cours.
Vrai ou faux
★★☆a) $P_A(B) = P_B(A)$ toujours. b) La somme des branches d'un nœud vaut $1$. c) Si $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
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