Géométrie dans l'espace et volumes
Solides usuels (cube, pavé, prisme, cylindre, cône, sphère), patrons, volumes et conversions (m³, L), contenance, calculs de quantités de matériaux et de liquides en situation professionnelle.
1. Les solides usuels
Définition
Un pavé droit a $6$ faces rectangulaires ; le cube est un pavé dont toutes les arêtes sont égales. Le cylindre a deux bases en forme de disque ; le cône une base en disque et un sommet ; la sphère (boule) est l'ensemble des points à égale distance du centre. Un patron est une figure plane qu'on plie pour fabriquer le solide.
2. Volumes
Propriété · Formules
Cube : $V = c^3$. Pavé : $V = L \times l \times h$. Prisme et cylindre : $V = \text{aire de la base} \times h$ (cylindre : $\pi r^2 h$). Cône et pyramide : $V = \dfrac{\text{aire de la base} \times h}{3}$. Boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
Propriété · Conversions
$1$ m³ $= 1\,000$ dm³ $= 1\,000$ L ; $1$ dm³ $= 1$ L ; $1$ cm³ $= 1$ mL.
Exemple · Couler une dalle
Dalle de $4$ m × $3$ m × $0{,}12$ m : $V = 1{,}44$ m³ de béton.
Exemple · Casserole
Une marmite cylindrique de rayon $15$ cm et de hauteur $20$ cm : $V = \pi \times 15^2 \times 20 \approx 14\,137$ cm³ $\approx 14{,}1$ L.
Activité · Fabriquer une boîte
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Exercices corrigés
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Cube
★☆☆Volume d'un cube de $5$ cm d'arête ?
Pavé
★☆☆Volume d'un carton de $40 \times 30 \times 25$ cm, en cm³ puis en L ?
Conversion
★☆☆Convertir $2{,}5$ m³ en L et $750$ cm³ en L.
Dalle
★★☆Volume de béton pour une dalle de $5$ m × $4$ m × $0{,}15$ m ?
Cylindre
★★☆Volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm (au cm³) ?
Marmite
★★☆Vérifier le volume de la marmite du cours en litres.
Cône
★★☆Volume d'un cornet conique de rayon $3$ cm et de hauteur $12$ cm ?
Boule
★★☆Volume d'une boule de glace de rayon $3$ cm ?
Aquarium
★★☆Un aquarium de $80 \times 35 \times 40$ cm est rempli aux $\dfrac{3}{4}$. Volume d'eau ?
Nombre de bouteilles
★★☆Combien de bouteilles de $75$ cL remplit-on avec une cuve de $300$ L ?
Faces d'un pavé
★☆☆Combien un pavé droit a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?
Patron
★★☆Combien de rectangles comporte le patron d'un pavé droit ?
Peinture d'une cuve
★★★Aire latérale d'une cuve cylindrique de rayon $0{,}5$ m et de hauteur $1{,}2$ m (formule $2\pi r h$) ?
Remplissage
★★☆Une piscine de $8 \times 4 \times 1{,}5$ m est remplie à $10$ m³/h. Durée ?
Sable
★★☆Un tas de sable conique a un rayon de $1$ m et une hauteur de $0{,}9$ m. Volume ?
Moule
★★☆Un moule à gâteau cylindrique de diamètre $24$ cm et de hauteur $5$ cm. Contenance en L ?
Agrandissement
★★★Si l'on double toutes les dimensions d'une boîte, par combien est multiplié son volume ?
Activité
★☆☆Volume de la boîte de l'activité en mL ?
Masse de béton
★★★Avec une masse volumique de $2\,400$ kg/m³, masse de la dalle de l'exercice « Dalle » ?
Vrai ou faux
★★☆a) $1$ dm³ $= 1$ L. b) Le volume d'un cône est celui du cylindre de même base et hauteur. c) $1$ cm³ $= 1$ mL.
Vérifier
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