Fonctions linéaires et affines
Notion de fonction, image, antécédent, fonctions linéaires et affines.
1. Vocabulaire
Définition · Fonction
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un unique nombre $f(x)$, appelé image de $x$. Si $f(a) = b$, on dit que $a$ est un antécédent de $b$.
Exemple
$f(x) = x^2 - 1$. L'image de $3$ est $f(3) = 8$. Les antécédents de $8$ sont $3$ et $-3$.
2. Fonction linéaire
Définition
Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$. Elle modélise une situation de proportionnalité de coefficient $a$.
Propriété · Représentation
Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
3. Fonction affine
Définition
Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$. $a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine.
Propriété · Représentation
C'est une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,b)$. Si $a \gt 0$ elle « monte », si $a \lt 0$ elle « descend ».
Méthode · Trouver $a$ à partir de deux points
Si $f(x_1) = y_1$ et $f(x_2) = y_2$, alors $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, puis $b = y_1 - a x_1$.
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Exercices corrigés
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Image et antécédent
★☆☆Soit $f(x) = 3x - 5$. Calculer l'image de $4$, puis l'antécédent de $10$.
Déterminer une fonction affine
★★☆$f$ est affine avec $f(1) = 3$ et $f(4) = 12$. Déterminer $f(x)$.
Comparer deux tarifs
★★★Tarif A : $8$ € par séance. Tarif B : abonnement de $30$ € plus $5$ € par séance. À partir de combien de séances le tarif B est-il plus avantageux ?
Calculer des images
★☆☆Soit $g(x) = x^2 - 2x$. Calculer $g(0)$, $g(3)$ et $g(-1)$.
Tableau de valeurs
★☆☆Compléter le tableau de valeurs de $h(x) = -2x + 3$ pour $x = -2$ ; $0$ ; $1$ ; $4$.
Lire un graphique
★★☆Avec la figure du cours : lire l'image de $2$ par $f$ et par $g$, puis l'antécédent de $2$ par $g$.
Linéaire ou affine ?
★☆☆Classer : $f(x) = 4x$ ; $g(x) = 3 - x$ ; $h(x) = x^2$ ; $k(x) = \dfrac{x}{5}$ ; $m(x) = 7$.
Fonction linéaire et pourcentage
★★☆Une baisse de $15\,\%$ est modélisée par une fonction linéaire. Laquelle ? Calculer l'image de $80$.
Déterminer une fonction linéaire
★☆☆$f$ est linéaire et $f(4) = -12$. Déterminer $f(x)$.
Déterminer une fonction affine
★★☆$g$ est affine, $g(-1) = 5$ et $g(3) = -3$. Déterminer $g(x)$.
Point sur la droite
★★☆Le point $A(2\,;\,7)$ appartient-il à la représentation de $f(x) = 3x + 1$ ? Et $B(-1\,;\,-2)$ ?
Tracer une droite
★★☆Expliquer comment tracer la représentation de $f(x) = 2x - 1$.
Sens de variation
★☆☆Les fonctions $f(x) = -5x + 2$ et $g(x) = 0{,}3x - 4$ sont-elles croissantes ou décroissantes ?
Point d'intersection
★★★Trouver le point d'intersection des droites représentant $f(x) = 2x - 1$ et $g(x) = -x + 5$.
Location de voiture
★★☆Une location coûte $40$ € plus $0{,}25$ € par km. Exprimer le prix $P(x)$ en fonction du nombre $x$ de km. Combien pour $200$ km ?
Antécédent par le calcul
★★☆Avec $P(x) = 0{,}25x + 40$, combien de km a-t-on parcouru si l'on paie $115$ € ?
Température
★★★La conversion Celsius–Fahrenheit est affine : $F(c) = 1{,}8c + 32$. Convertir $25$ °C en °F. Quelle température est la même dans les deux échelles ?
Proportionnalité des accroissements
★★★Pour $f(x) = 3x + 2$, calculer $f(5) - f(2)$ et $f(10) - f(7)$. Que remarque-t-on ?
Tableur
★★☆Dans un tableur, $x$ est en A2. Quelle formule écrire en B2 pour calculer $f(x) = -2x + 7$ ?
Fonction constante
★★☆Quelle est la représentation graphique de $f(x) = 4$ ?
Vrai ou faux
★★☆a) Toute fonction linéaire est affine. b) $f(x) = x^2$ est affine. c) Une fonction affine avec $a \lt 0$ est décroissante.
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