Calcul littéral : identités remarquables et équations
Développer et factoriser avec les identités remarquables, résoudre des équations produit nul et des inéquations.
1. Identités remarquables
Propriété
Pour tous nombres $a$ et $b$ :
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$Méthode · Factoriser
On reconnaît une identité « à l'envers » : $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ ; $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$. Ou on met un facteur commun en évidence : $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+5) = (x+1)(3x+2)$.
2. Équation produit nul
Propriété
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
$$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$Exemple
$(x - 2)(3x + 6) = 0$ : $x - 2 = 0$ ou $3x + 6 = 0$, soit $x = 2$ ou $x = -2$.
3. Inéquations
Propriété · Règles
On résout comme une équation, mais quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.
Exemple
$-2x + 5 \gt 11 \Rightarrow -2x \gt 6 \Rightarrow x \lt -3$.
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Exercices corrigés
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Développer (a + b)²
★☆☆Développer : $(x + 4)^2$ ; $(2x + 1)^2$.
Développer (a ? b)²
★☆☆Développer : $(x - 5)^2$ ; $(3x - 2)^2$.
Développer (a + b)(a ? b)
★☆☆Développer : $(x + 7)(x - 7)$ ; $(2x - 3)(2x + 3)$.
Calcul mental
★★☆Calculer mentalement avec les identités : $101^2$ ; $99^2$ ; $52 \times 48$.
Factoriser (facteur commun)
★☆☆Factoriser : $5x^2 - 15x$ ; $(x - 1)(x + 2) + 3(x - 1)$.
Factoriser (identités)
★★☆Factoriser : $x^2 - 16$ ; $9x^2 - 25$ ; $x^2 - 6x + 9$.
Factoriser (a² ? b² avec expressions)
★★★Factoriser : $(x + 2)^2 - 9$.
Équation produit nul
★☆☆Résoudre : $(x + 3)(x - 8) = 0$ ; $x(2x - 5) = 0$.
Factoriser puis résoudre
★★☆Résoudre $x^2 - 25 = 0$ puis $x^2 = 7x$.
Équation au carré
★★☆Résoudre $(2x - 1)^2 = 9$.
Inéquation simple
★☆☆Résoudre : $3x - 4 \lt 11$ ; $5 - 2x \geq 1$.
Représenter les solutions
★★☆Résoudre $2x + 3 \gt x - 1$ et représenter les solutions sur une droite graduée.
Prouver une égalité
★★☆Montrer que pour tout $x$ : $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = 12x$.
Programme de calcul
★★★Programme : choisir un nombre, l'augmenter de $1$, élever au carré, soustraire le carré du nombre de départ. Montrer que le résultat est toujours un nombre impair si l'on part d'un entier.
Aire et équation
★★★Un rectangle a pour dimensions $x + 5$ et $x - 5$ (en cm) et une aire de $144\ \text{cm}^2$. Trouver $x$ et les dimensions.
Carré d'une somme
★★☆Sans développer, dire si $(x + 1)^2$ peut être négatif. Résoudre $(x + 1)^2 = -4$.
Tarif et inéquation
★★☆Un taxi coûte $4$ € plus $1{,}5$ € par km. Combien de km au maximum avec $25$ € ?
Double distributivité
★☆☆Développer et réduire : $(2x - 3)(x + 4)$.
Équation avec produit
★★★Résoudre $(x - 1)(x + 4) = (x - 1)(2x - 3)$.
Erreur classique
★★☆Un élève écrit $(x + 5)^2 = x^2 + 25$. Corriger.
Vrai ou faux
★★☆a) $(a - b)^2 = a^2 - b^2$. b) Si $AB = 0$ alors $A = 0$ ou $B = 0$. c) $-3x \gt 6 \iff x \gt -2$.
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