Arithmétique
Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, diviseurs communs et fractions irréductibles.
1. Diviseurs et nombres premiers
Définition · Diviseur
$b$ est un diviseur de $a$ (ou $a$ un multiple de $b$) s'il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$.
Définition · Nombre premier
Un nombre entier est premier s'il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\ldots$
2. Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété
Tout entier supérieur ou égal à $2$ se décompose de façon unique en produit de nombres premiers.
3. Diviseurs communs et fractions irréductibles
Méthode · Rendre une fraction irréductible
On décompose numérateur et dénominateur, puis on simplifie par les facteurs communs :
$\dfrac{360}{84} = \dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{7} = \dfrac{30}{7}$.
Définition · Plus grand diviseur commun
Le plus grand diviseur commun de deux nombres est le produit des facteurs premiers communs (avec le plus petit exposant). Exemple : $360$ et $84$ ont pour plus grand diviseur commun $2^2 \times 3 = 12$.
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Exercices corrigés
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Premier ?
★☆☆Parmi $51$ ; $53$ ; $57$ ; $59$ ; $91$ ; $97$, lesquels sont premiers ?
Décomposer
★☆☆Décomposer en produit de facteurs premiers : $72$ ; $150$ ; $196$.
Décomposer (2)
★★☆Décomposer $1\,386$ en produit de facteurs premiers.
Fraction irréductible
★★☆Rendre irréductible $\dfrac{252}{360}$ grâce aux décompositions.
Diviseurs d'un nombre
★★☆Donner la liste des diviseurs de $60$.
Plus grand diviseur commun
★★☆Trouver le plus grand diviseur commun de $84$ et $126$.
Paquets identiques
★★★Un pâtissier a $84$ macarons et $126$ chocolats. Il veut faire le plus grand nombre de paquets identiques en utilisant tout. Combien de paquets ? Contenu de chacun ?
Dalles carrées
★★★Une terrasse de $5{,}40$ m sur $3{,}60$ m doit être couverte de dalles carrées entières, les plus grandes possibles (côté entier en cm). Quelle taille ? Combien de dalles ?
Multiples communs
★★☆Deux bus partent ensemble à $8$ h ; l'un repasse toutes les $12$ min, l'autre toutes les $18$ min. À quelle heure repartiront-ils ensemble ?
Critères de divisibilité
★☆☆Sans calculer, dire si $4\,725$ est divisible par $3$, par $5$, par $9$.
Nombre de diviseurs
★★★$72 = 2^3 \times 3^2$. Combien a-t-il de diviseurs ?
Somme de deux premiers
★★☆Écrire $30$ comme somme de deux nombres premiers de trois façons différentes.
Nombre mystère
★★★Je suis un nombre compris entre $100$ et $200$ dont la décomposition est $2 \times 3^2 \times p$ avec $p$ premier. Qui puis-je être ?
Cube parfait
★★★Montrer que $216$ est le cube d'un entier à l'aide de sa décomposition.
Carré parfait
★★☆$2^4 \times 3^2 \times 5^2$ est-il un carré ? De quel nombre ?
Calendrier
★★★Une comète passe tous les $6$ ans, une autre tous les $15$ ans. Elles sont passées ensemble en $2020$. Quand repasseront-elles ensemble ?
Division euclidienne
★☆☆Effectuer la division euclidienne de $1\,000$ par $37$.
Démontrer
★★★Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Pair ou impair
★★☆Le produit de deux entiers consécutifs est-il toujours pair ? Justifier.
Brevet type
★★★On dispose de $1\,631$ billes rouges et $932$ billes noires. Montrer que $233$ est un diviseur commun et en déduire le nombre de sacs identiques possibles.
Vrai ou faux
★★☆a) $1$ est premier. b) La décomposition en facteurs premiers est unique. c) $2^3 \times 5 = 40$.
Vérifier
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