Matrices : calcul matriciel et systèmes
Matrices, opérations (somme, produit par un réel, produit matriciel), matrice identité, puissances, matrices inversibles d'ordre 2 et résolution de systèmes linéaires sous forme matricielle.
1. Matrices et opérations
Définition · Matrice
Une matrice de taille $n \times p$ est un tableau de nombres à $n$ lignes et $p$ colonnes. Le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ se note $a_{ij}$. Une matrice $n \times n$ est dite carrée d'ordre $n$.
Propriété · Somme et produit par un réel
On additionne deux matrices de même taille coefficient par coefficient ; on multiplie une matrice par un réel en multipliant chaque coefficient.
Définition · Produit matriciel
Si $A$ est de taille $n \times p$ et $B$ de taille $p \times q$, le produit $AB$ est de taille $n \times q$ : son coefficient $(i, j)$ est la somme des produits des coefficients de la ligne $i$ de $A$ par ceux de la colonne $j$ de $B$.
Exemple · Un produit
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ mais $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Attention · Non commutatif
En général $AB \neq BA$ : l'ordre des facteurs compte. On ne peut multiplier $A$ par $B$ que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.
2. Identité, puissances, inverse
Propriété · Matrice identité et puissances
$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ vérifie $AI = IA = A$. Pour une matrice carrée, $A^n = A \times A \times \cdots \times A$ ($n$ facteurs). Pour une matrice diagonale, $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \end{pmatrix}$.
Propriété · Inverse d'une matrice d'ordre 2
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$, et alors $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$, avec $AA^{-1} = A^{-1}A = I_2$.
3. Systèmes linéaires
Méthode · Écriture matricielle
Le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$. Si $A$ est inversible, $X = A^{-1}B$ : ici $x = 2$ et $y = 1$.
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Exercices corrigés
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Somme et produit par un réel
★☆☆$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $A + B$ et $2A$.
Non-commutativité
★★☆Avec les mêmes matrices, calculer $AB$ et $BA$.
Carré d'une matrice
★☆☆Calculer $A^2$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.
Inverse
★★☆Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
Système (1)
★☆☆Résoudre matriciellement $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Système (2)
★★☆Résoudre $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x + 4y = 9 \end{cases}$.
Puissances d'une matrice diagonale
★☆☆$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Donner $D^n$.
Puissances par récurrence
★★★Montrer par récurrence que $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout $n \geq 1$.
Produit de tailles différentes
★☆☆Calculer $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Produit possible ?
★☆☆Peut-on multiplier une matrice $2 \times 3$ par une matrice $2 \times 3$ ?
Matrice non inversible
★☆☆$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
Relation et inverse
★★★Vérifier que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ vérifie $A^2 - 5A - 2I_2 = 0$. En déduire $A^{-1}$.
Comparer deux magasins
★★☆Le magasin A vend le cahier $2$ € et le stylo $1$ € ; le magasin B, $1{,}80$ € et $1{,}20$ €. On achète $10$ cahiers et $5$ stylos. Calculer le coût dans chaque magasin avec un produit matriciel.
Produit en Python
★★☆Écrire une fonction Python produit(A, B) pour deux matrices $2 \times 2$ données sous forme de listes de listes.
Matrice de rotation
★★☆Calculer l'image du point $(2\,;\,1)$ par la matrice $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Faire le lien avec les nombres complexes.
Vérifier un inverse
★☆☆Montrer que $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ est l'inverse de $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Puissances alternées
★★☆$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $B^2$ et en déduire $B^n$.
Parabole par trois points
★★★Trouver $a$, $b$, $c$ tels que la parabole $y = ax^2 + bx + c$ passe par $(0\,;\,1)$, $(1\,;\,2)$ et $(2\,;\,5)$.
Équation AX = C
★★☆Résoudre $AX = C$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$.
Matrice nilpotente
★☆☆Calculer $N^2$ pour $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
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