La dérivation
Taux de variation, nombre dérivé et tangente, fonction dérivée, dérivées usuelles et règles de calcul.
1. Taux de variation et nombre dérivé
Définition · Taux de variation
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ ($h \neq 0$) est $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$. C'est le coefficient directeur de la sécante passant par $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a + h\,;\,f(a + h))$.
Définition · Nombre dérivé
Si ce taux de variation se rapproche d'un nombre réel $\ell$ quand $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$ et que $\ell$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$Exemple · Avec f(x) = x²
$\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$, qui tend vers $2a$ : $f'(a) = 2a$. Par exemple $f'(1) = 2$.
2. Tangente à une courbe
Propriété · Équation de la tangente
La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est la droite passant par $A(a\,;\,f(a))$ de coefficient directeur $f'(a)$ :
$$y = f'(a)(x - a) + f(a).$$Exemple
$f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$, $f'(1) = 2$ : $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.
3. Fonction dérivée
Propriété · Dérivées usuelles
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Validité |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \geq 1$ entier) | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
Propriété · Opérations
Pour $u$ et $v$ dérivables et $k$ réel :
- $(u + v)' = u' + v'$ ; $(ku)' = ku'$ ;
- $(uv)' = u'v + uv'$ ;
- $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (là où $v \neq 0$) ;
- $\left(g(ax + b)\right)' = a\,g'(ax + b)$.
Méthode · Dériver un produit
$f(x) = (2x + 1)\sqrt{x}$ : $u = 2x + 1$, $u' = 2$ ; $v = \sqrt{x}$, $v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
$f'(x) = 2\sqrt{x} + \dfrac{2x + 1}{2\sqrt{x}}$.
Attention
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $(x \times x)' = 2x$ et non $1 \times 1$.
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Calculer des dérivées
★☆☆Dériver : $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$ ; $g(x) = \dfrac{2}{x}$ ; $h(x) = x\sqrt{x}$.
Équation de tangente
★★☆Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 3x$ au point d'abscisse $2$.
Étude de variations
★★★Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$.
Taux de variation
★☆☆Calculer le taux de variation de $f(x) = x^2 + 1$ entre $1$ et $3$, puis entre $1$ et $1 + h$.
Nombre dérivé par la définition
★★☆Montrer à l'aide du taux de variation que $f(x) = 3x^2 - x$ est dérivable en $2$ et calculer $f'(2)$.
Lire un nombre dérivé
★☆☆La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$ passe par $(2\,;\,1)$ et $(4\,;\,5)$. Donner $f(2)$ et $f'(2)$.
Dérivées usuelles
★☆☆Dériver : $f(x) = 5x^3$ ; $g(x) = 7$ ; $h(x) = x^6 - 4x$ ; $k(x) = \dfrac{3}{x}$ ; $m(x) = 4\sqrt{x}$.
Polynômes
★☆☆Dériver $f(x) = -2x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - 7x + 1$.
Produit
★★☆Dériver $f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)$ de deux façons : avec la formule du produit, puis en développant.
Quotient
★★☆Dériver $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.
Inverse
★★☆Dériver $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$.
Composée affine
★★☆Dériver $f(x) = (3x - 1)^4$ et $g(x) = \sqrt{2x + 5}$.
Tangente
★★☆Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ au point d'abscisse $2$.
Tangente horizontale
★★☆En quels points la courbe de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ admet-elle une tangente horizontale ?
Tangente parallèle
★★★En quel point la tangente à la parabole $y = x^2 - 4x$ est-elle parallèle à la droite $y = 2x + 7$ ?
Vitesse instantanée
★★☆La distance parcourue par un mobile est $d(t) = 2t^2 + 3t$ (en m, $t$ en s). Calculer sa vitesse moyenne entre $t = 1$ et $t = 3$, puis sa vitesse instantanée à $t = 2$.
Approximation affine
★★★En utilisant la tangente à $\sqrt{x}$ en $4$, donner une valeur approchée de $\sqrt{4{,}1}$.
Retrouver une fonction
★★★Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe de $f(x) = ax^2 + b$ passe par $A(1\,;\,5)$ avec une tangente de coefficient directeur $4$ en $A$.
Erreur classique
★☆☆Un élève écrit : « la dérivée de $x^2 \times x^3$ est $2x \times 3x^2 = 6x^3$ ». Corriger.
Non dérivable
★★★Montrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ (étudier $\dfrac{\sqrt{h}}{h}$ pour $h \gt 0$).
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