Lentilles minces et images
Relation de conjugaison, grandissement, construction graphique, vergence, modèle de l'œil et de l'appareil photographique.
1. Rappels et vocabulaire
Définition
Une lentille mince convergente a un centre optique $O$, un foyer objet $F$ et un foyer image $F'$ symétriques, et une distance focale $f' = \overline{OF'}$. Sa vergence est $C = \dfrac{1}{f'}$ (en dioptries δ, $f'$ en m). Les distances sont algébriques : on oriente l'axe dans le sens de la lumière (de gauche à droite).
2. Relation de conjugaison et grandissement
Propriété · Relation de conjugaison
$$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$$Elle relie la position de l'objet $A$ et celle de son image $A'$.
Propriété · Grandissement
$$\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$$$\gamma \lt 0$ : image renversée ; $|\gamma| \gt 1$ : image agrandie.
Exemple
Objet à $\overline{OA} = -30$ cm d'une lentille de $f' = 10$ cm : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$, donc $\overline{OA'} = 15$ cm. $\gamma = \dfrac{15}{-30} = -0{,}5$ : image réelle, renversée, deux fois plus petite.
Expérience · Vérifier la relation de conjugaison
3. L'œil et l'appareil photo
Propriété · Modèle de l'œil
Cristallin → lentille convergente de vergence variable ; rétine → écran ; iris → diaphragme. La distance cristallin–rétine est fixe (environ $17$ mm) : pour voir net à différentes distances, l'œil accommode en modifiant la vergence du cristallin.
Propriété · Appareil photo
L'objectif forme une image réelle sur le capteur. La mise au point se fait en déplaçant l'objectif (la distance objectif–capteur varie).
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Position de l'image
★★☆Un objet est placé à $30$ cm devant une lentille de distance focale $f' = 10$ cm. Où se forme l'image ?
Grandissement
★★☆Avec les données précédentes, l'objet mesure $4$ cm. Calculer le grandissement et la taille de l'image.
Loupe
★★★Un objet est placé à $5$ cm d'une lentille de focale $f' = 10$ cm. Calculer $\overline{OA'}$ et $\gamma$. Interpréter.
Vergence
★☆☆Calculer la vergence d'une lentille de focale $25$ cm, puis la focale d'une lentille de $+8$ δ.
Objet à 2f'
★★☆Un objet est placé à $\overline{OA} = -20$ cm d'une lentille de $f' = 10$ cm. Position et grandissement de l'image ?
Image agrandie
★★☆Un objet est à $15$ cm d'une lentille de $f' = 10$ cm. Calculer $\overline{OA'}$ et $\gamma$.
Projecteur de diapositives
★★★On veut projeter une diapositive de $24$ mm sur un écran à $3{,}0$ m de la lentille avec une image de $1{,}2$ m. Calculer $\gamma$, $\overline{OA}$ puis $f'$.
Objet à l'infini
★☆☆Où se forme l'image d'un objet très éloigné ? Justifier avec la relation de conjugaison.
Image virtuelle
★★☆Un objet est à $4$ cm d'une loupe de $f' = 8$ cm. Calculer $\overline{OA'}$ et $\gamma$ et interpréter.
Œil
★★☆La distance cristallin–rétine vaut $17$ mm. Calculer la vergence de l'œil au repos (objet à l'infini), puis pour lire à $25$ cm.
Appareil photo
★★☆Un objectif de $f' = 50$ mm photographie une personne à $2{,}0$ m. À quelle distance de l'objectif doit être le capteur ?
Taille de l'image sur le capteur
★★☆Avec l'exercice précédent, la personne mesure $1{,}80$ m. Taille de son image sur le capteur ?
Construction graphique
★★☆Construire à l'échelle l'image d'un objet de $1$ cm placé à $3$ cm d'une lentille de $f' = 2$ cm et vérifier par le calcul.
Retrouver la focale
★★☆Un objet à $40$ cm d'une lentille donne une image nette sur un écran à $40$ cm de l'autre côté. Calculer $f'$.
Distance objet-image minimale
★★★Pour une lentille de focale $f'$, montrer que si l'objet est à $2f'$, la distance objet–image vaut $4f'$.
Myopie
★★★Un œil myope voit net jusqu'à $2{,}0$ m au maximum. Quelle lentille de contact faut-il pour qu'il voie net à l'infini ? (Elle doit donner d'un objet à l'infini une image à $2{,}0$ m devant l'œil.)
Exploiter l'expérience
★★☆Dans l'expérience du cours, pour $\overline{OA} = -0{,}20$ m, quelle valeur de $\overline{OA'}$ attend-on ?
Vrai ou faux
★★☆a) Une image réelle se forme toujours derrière la lentille. b) $\gamma = -3$ signifie image droite trois fois plus grande. c) Pour une lentille convergente, $f' \gt 0$.
Loupe et grossissement
★★☆Une loupe de $+20$ δ : quelle est sa distance focale ? Où placer un timbre pour le voir agrandi ?
Image sur écran
★☆☆Une image virtuelle peut-elle être observée sur un écran ? Justifier.
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