Probabilités
Décrire une expérience aléatoire et ses issues, calculer la probabilité d'un événement (issues équiprobables, dés, urnes, roues, cartes), utiliser l'événement contraire et relier fréquence et probabilité par la simulation.
1. Expérience aléatoire et issues
Lancer une pièce, lancer un dé, tirer une boule dans un sac sans regarder, faire tourner une roue de loterie… Dans toutes ces situations, on sait ce qui peut arriver, mais on ne peut pas savoir à l'avance ce qui va arriver : c'est le hasard.
Définition · Expérience aléatoire et issues
Une expérience aléatoire est une expérience :
- dont on connaît tous les résultats possibles ;
- dont on ne peut pas prévoir le résultat avant de la faire ;
- que l'on peut recommencer dans les mêmes conditions.
Chaque résultat possible s'appelle une issue.
Exemple · Tirer une boule dans une urne
Une urne contient des boules rouges, bleues et jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule les yeux fermés et on note sa couleur.
C'est une expérience aléatoire ; elle a trois issues : « rouge », « bleue » et « jaune ».
Attention · Deux issues ne veut pas dire « une chance sur deux »
Une urne contient $1$ boule rouge et $9$ boules bleues. Il y a seulement deux issues (rouge ou bleue), et pourtant on a beaucoup plus de chances de tirer une boule bleue ! Les issues n'ont pas forcément les mêmes chances de se produire.
Activité · Des mots aux nombres
Voici six situations :
- A : on lance un dé ordinaire et on obtient $8$ ;
- B : on lance une pièce et on obtient « Face » ;
- C : on tire une boule dans une urne contenant $9$ boules vertes et $1$ rouge ; elle est verte ;
- D : on lance un dé ordinaire et on obtient un nombre inférieur ou égal à $6$ ;
- E : on lance un dé ordinaire et on obtient $1$ ;
- F : on tire une carte dans un jeu de $32$ cartes ; c'est un cœur.
1. Associer à chaque situation l'une des expressions : « impossible », « peu probable », « une chance sur deux », « très probable », « certain ».
2. Placer les lettres sur une échelle graduée de $0$ (jamais) à $1$ (toujours).
- A est impossible : place $0$.
- E ($1$ chance sur $6$) et F ($8$ cœurs sur $32$ cartes, soit $1$ chance sur $4$) sont peu probables.
- B : une chance sur deux, place $0{,}5$.
- C : $9$ chances sur $10$, c'est très probable : place $0{,}9$.
- D est certain : place $1$.
On peut mesurer les chances d'un résultat par un nombre compris entre $0$ et $1$ : c'est sa probabilité.
2. Probabilité d'une issue
Définition · Modéliser une expérience aléatoire
Modéliser une expérience aléatoire, c'est attribuer à chaque issue un nombre, appelé sa probabilité, de façon que :
- chaque probabilité soit un nombre compris entre $0$ et $1$ : plus il est grand, plus l'issue a de chances de se produire ;
- la somme des probabilités de toutes les issues soit égale à $1$.
Propriété · Trois écritures
Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage :
$$\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\% \qquad \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\% \qquad 1 = 100\,\%$$Exemple · La pièce équilibrée
On lance une pièce bien équilibrée. Il y a deux issues, « Pile » et « Face », qui ont autant de chances l'une que l'autre.
On attribue à chacune la probabilité $\dfrac{1}{2}$ (soit $0{,}5$ ou $50\,\%$). On vérifie : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.
Méthode · Trouver une probabilité manquante
On utilise le fait que la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.
Exemple : un dé est truqué (il n'est pas équilibré). On connaît les probabilités suivantes :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | 0,2 | 0,1 | ? | 0,15 | 0,1 | 0,1 |
Somme des probabilités connues : $0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}65$.
Donc la probabilité d'obtenir $3$ est $1 - 0{,}65 = 0{,}35$.
Définition · Issues équiprobables
Quand toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit qu'elles sont équiprobables.
Les mots « équilibré », « bien mélangé », « au hasard », « indiscernables au toucher » indiquent en général cette situation.
Propriété · Probabilité d'une issue quand tout est équiprobable
Si une expérience aléatoire a $n$ issues équiprobables, alors la probabilité de chacune est égale à $\dfrac{1}{n}$.
Exemple · Une boîte de jetons
Une boîte contient $12$ jetons identiques numérotés de $1$ à $12$. On en tire un au hasard. Les $12$ issues sont équiprobables : chaque numéro a une probabilité de $\dfrac{1}{12}$ d'être tiré.
Activité · Des dés de toutes les formes
Dans les jeux de société, on trouve des dés équilibrés à $6$ faces, mais aussi à $8$, $12$ ou $20$ faces (numérotées à partir de $1$).
1. Avec un dé équilibré à $6$ faces, un numéro a-t-il plus de chances de sortir qu'un autre ? Quelle est la probabilité de chaque issue ?
2. Même question avec un dé à $8$ faces, puis à $20$ faces, puis à $n$ faces.
3. Avec le dé à $6$ faces, calculer la probabilité de chaque résultat : A « obtenir $3$ ou moins » ; B « obtenir $5$ ou plus » ; C « obtenir un nombre strictement plus petit que $6$ » ; D « obtenir un nombre impair ».
- Non : le dé est équilibré, les $6$ issues sont équiprobables, chacune a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$.
- $\dfrac{1}{8}$ pour $8$ faces ; $\dfrac{1}{20}$ pour $20$ faces ; $\dfrac{1}{n}$ pour $n$ faces.
- A est réalisé par $1$, $2$, $3$ : $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. B par $5$ et $6$ : $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. C par $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ : $\dfrac{5}{6}$. D par $1$, $3$, $5$ : $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Quand les issues sont équiprobables, il suffit de compter : on divise le nombre d'issues qui conviennent par le nombre total d'issues.
3. Événements et probabilité d'un événement
Définition · Événement
Un événement est un ensemble d'issues. On le décrit par une phrase, ou par la liste des issues qui le composent.
Après l'expérience, on dit que l'événement est réalisé si l'issue obtenue en fait partie.
Exemple · Avec un dé
On lance un dé à $6$ faces. Soit A l'événement « obtenir un nombre supérieur à $4$ ». Il est formé des issues $5$ et $6$.
Si le dé tombe sur $5$ ou sur $6$, A est réalisé ; s'il tombe sur $1$, $2$, $3$ ou $4$, A n'est pas réalisé.
Définition · Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement A, notée $P(\text{A})$, est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
Exemple · Retour au dé truqué
Avec le dé truqué de la partie 2, l'événement « obtenir un nombre impair » est réalisé par $1$, $3$ et $5$ :
$$P(\text{impair}) = 0{,}2 + 0{,}35 + 0{,}1 = 0{,}65$$Propriété · Encadrement
Pour tout événement A : $\quad 0 \leqslant P(\text{A}) \leqslant 1$.
Propriété · Cas où les issues sont équiprobables
Si toutes les issues sont équiprobables, alors :
$$P(\text{A}) = \dfrac{\text{nombre d'issues qui réalisent A}}{\text{nombre total d'issues}}$$Méthode · Calculer une probabilité en trois étapes
- Vérifier que les issues sont équiprobables (dé équilibré, tirage au hasard…).
- Compter le nombre total d'issues.
- Compter les issues favorables (celles qui réalisent l'événement), écrire la fraction et la simplifier si possible.
Exemple · L'urne colorée
Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ vertes et $4$ bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
- Les $12$ boules ont toutes la même chance d'être tirées : les issues sont équiprobables.
- Il y a $12$ issues au total.
- $3$ issues réalisent l'événement V « la boule est verte ».
Exemple · Une roue partagée inégalement
Sur une roue, la probabilité de s'arrêter sur un secteur est proportionnelle à la taille de ce secteur, c'est-à-dire à son angle. Le tour complet ($360^\circ$) correspond à la probabilité $1$.
Sur la roue de droite, le secteur bleu mesure $180^\circ$ : $P(\text{bleu}) = \dfrac{180}{360} = \dfrac{1}{2}$ ; les secteurs rouge et vert mesurent $90^\circ$ : $P(\text{rouge}) = P(\text{vert}) = \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
Activité · Devinette dans l'urne
Une urne opaque contient $20$ boules : des jaunes, des bleues et des vertes. Inès connaît le contenu et donne deux indices à son frère :
- « Il y a autant de boules jaunes que de boules vertes. »
- « Si je tire une boule au hasard, la probabilité qu'elle soit bleue est $\dfrac{1}{5}$. »
1. Combien y a-t-il de boules de chaque couleur ?
2. Inès ajoute $4$ boules vertes et affirme : « Maintenant, j'ai exactement une chance sur deux de tirer une verte. » A-t-elle raison ?
- $\dfrac{1}{5}$ de $20$ boules, c'est $20 \div 5 = 4$ boules bleues. Il reste $20 - 4 = 16$ boules, partagées également : $8$ jaunes et $8$ vertes.
- Après l'ajout : $8 + 4 = 12$ vertes sur $20 + 4 = 24$ boules. $P(\text{verte}) = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}$ : Inès a raison.
Une probabilité permet de retrouver un nombre de boules : nombre de boules $=$ probabilité $\times$ nombre total. Quand on change le contenu de l'urne, il faut recalculer toutes les probabilités.
4. Événements impossible, certain et contraire
Définition · Événement impossible, événement certain
- Un événement impossible ne se réalise jamais : aucune issue ne le réalise.
- Un événement certain se réalise toujours : toutes les issues le réalisent.
Propriété · Probabilités extrêmes
- La probabilité d'un événement impossible est égale à $0$.
- La probabilité d'un événement certain est égale à $1$.
Exemple · Avec un dé à 6 faces
« Obtenir $7$ » est un événement impossible : sa probabilité est $0$.
« Obtenir un nombre plus petit que $10$ » est un événement certain : sa probabilité est $1$.
Définition · Événement contraire
L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui est réalisé exactement quand A ne l'est pas. Il est formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A. On le note $\overline{\text{A}}$ (on lit « A barre »).
Propriété · Probabilité de l'événement contraire
Pour tout événement A : $\quad P(\text{A}) + P(\overline{\text{A}}) = 1 \quad$ donc $\quad P(\overline{\text{A}}) = 1 - P(\text{A})$.
Exemple · Retour à l'urne colorée
Dans l'urne de $5$ rouges, $3$ vertes et $4$ bleues, soit B « tirer une boule bleue ». Alors $P(\text{B}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.
L'événement contraire $\overline{\text{B}}$ est « ne pas tirer une boule bleue », c'est-à-dire « tirer une boule rouge ou verte » :
$$P(\overline{\text{B}}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$$Vérification en comptant : $5 + 3 = 8$ boules ne sont pas bleues, et $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.
Méthode · Quand passer par le contraire ?
Si l'événement contient « ne… pas », « au moins un » ou s'il regroupe beaucoup d'issues, il est souvent plus rapide de calculer la probabilité de son contraire, puis de faire $1 - \ldots$
Activité · Tirer une carte
On pose les six cartes ci-dessous face cachée, on les mélange et on en tire une au hasard. On définit les événements :
- R : « la carte est rouge » ;
- S : « la carte est un as » ;
- K : « la carte est un roi ».
1. Calculer $P(\text{R})$, $P(\text{S})$ et $P(\text{K})$.
2. Décrire par une phrase l'événement $\overline{\text{S}}$, puis calculer sa probabilité. Quelle relation relie $P(\text{S})$ et $P(\overline{\text{S}})$ ?
3. Décrire $\overline{\text{R}}$ et $\overline{\text{K}}$ et calculer leurs probabilités.
- $3$ cartes rouges sur $6$ : $P(\text{R}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Deux as : $P(\text{S}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Un seul roi : $P(\text{K}) = \dfrac{1}{6}$.
- $\overline{\text{S}}$ : « la carte n'est pas un as ». $4$ cartes sur $6$ : $P(\overline{\text{S}}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. On remarque que $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1$.
- $\overline{\text{R}}$ : « la carte est noire », $P = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$. $\overline{\text{K}}$ : « la carte n'est pas un roi », $P = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Un événement et son contraire se partagent toutes les issues : leurs probabilités s'ajoutent pour faire $1$.
5. Fréquence et simulation
Que se passe-t-il si l'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois ? On compare la fréquence observée d'une issue avec sa probabilité.
Définition · Fréquence d'apparition
Si l'on répète une expérience $N$ fois et qu'une issue apparaît $k$ fois, sa fréquence d'apparition est $\dfrac{k}{N}$.
Activité · Pile ou face… mille fois
Une classe lance une pièce équilibrée et compte au fur et à mesure le nombre de « Pile ». Voici les résultats :
| Nombre de lancers | 10 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1 000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de « Pile » | 7 | 26 | 49 | 98 | 244 | 502 |
1. Calculer la fréquence de « Pile » pour chaque colonne.
2. Observer la courbe : comment évolue la fréquence quand le nombre de lancers augmente ?
- Fréquences : $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$ ; $\dfrac{26}{50} = 0{,}52$ ; $\dfrac{49}{100} = 0{,}49$ ; $\dfrac{98}{200} = 0{,}49$ ; $\dfrac{244}{500} = 0{,}488$ ; $\dfrac{502}{1\,000} = 0{,}502$.
- Avec peu de lancers, la fréquence varie beaucoup ($0{,}7$ après $10$ lancers). Avec beaucoup de lancers, elle se stabilise autour de $0{,}5$, la probabilité d'obtenir « Pile ».
Plus on répète l'expérience, plus la fréquence a tendance à se rapprocher de la probabilité.
Propriété · Fréquence et probabilité
Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d'une issue se stabilise autour de sa probabilité.
Attention · Le hasard n'a pas de mémoire
Tom a obtenu $6$ trois fois de suite avec un dé équilibré. Au lancer suivant, la probabilité d'obtenir $6$ est toujours $\dfrac{1}{6}$ : le dé ne se « souvient » pas des lancers précédents. Sur quelques lancers, la fréquence peut être très loin de la probabilité.
Définition · Simuler une expérience
Simuler une expérience aléatoire, c'est la remplacer par un programme ou un tableur qui produit des résultats au hasard avec les mêmes probabilités. On peut ainsi faire des milliers d'essais en quelques secondes.
6. Pour aller plus loin : deux expériences à la suite
Quand on enchaîne deux expériences (deux lancers de pièce, deux dés…), on organise toutes les issues dans un arbre ou dans un tableau à double entrée pour n'en oublier aucune.
Exemple · Deux lancers de pièce
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. L'arbre montre $4$ issues équiprobables : PP, PF, FP et FF, chacune de probabilité $\dfrac{1}{4}$.
Soit D l'événement « obtenir deux faces différentes » : il est réalisé par PF et FP, donc $P(\text{D}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
Exemple · La somme de deux dés
On lance un dé bleu et un dé rouge, tous deux équilibrés, et on additionne les deux nombres. Le tableau compte $6 \times 6 = 36$ cases, c'est-à-dire $36$ issues équiprobables (un couple de nombres par case).
La somme $7$ apparaît dans $6$ cases (en vert) : $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. La somme $12$ n'apparaît qu'une fois : $P(\text{somme} = 12) = \dfrac{1}{36}$.
Attention · Les sommes ne sont pas équiprobables
Les sommes possibles vont de $2$ à $12$ (onze valeurs), mais elles n'ont pas les mêmes chances : la probabilité d'obtenir $2$ n'est pas $\dfrac{1}{11}$ mais $\dfrac{1}{36}$. Ce sont les $36$ cases du tableau qui sont équiprobables.
⚠️ Une erreur dans ce cours ? Signalez-la
S'entraîner
Exercices corrigés
🎓 31 exercices corrigés et un quiz vous attendent dans ce chapitre.
Créez votre compte gratuit pour voir les corrections, faire les quiz et suivre votre progression.
Les issues de la roue tricolore
★☆☆On fait tourner la roue ci-dessous et on note la couleur indiquée par la flèche.
- Donner la liste des issues de cette expérience aléatoire.
- Les issues sont-elles équiprobables ? Quelle est l'issue la plus probable ?
- Donner la probabilité de chaque issue.
Huit billes numérotées
★☆☆Un sac contient huit billes identiques numérotées de $1$ à $8$. On tire une bille au hasard et on lit son numéro.
- Donner la liste des issues.
- Quelle est la probabilité de chaque issue ? Justifier.
Un jour de la semaine au hasard
★☆☆Pour fixer la date d'un match, l'entraîneur tire au sort un jour de la semaine (du lundi au dimanche).
- Combien cette expérience a-t-elle d'issues ?
- Quelle est la probabilité que le match ait lieu un mercredi ?
- Quelle est la probabilité qu'il ait lieu le week-end (samedi ou dimanche) ?
Ces nombres peuvent-ils être des probabilités ?
★☆☆Pour chaque nombre, dire s'il peut être la probabilité d'une issue. Justifier.
a. $0{,}45$ b. $-0{,}3$ c. $1{,}2$ d. $\dfrac{7}{9}$ e. $\dfrac{12}{11}$ f. $0$ g. $250\,\%$ h. $1$
La face cachée du dé truqué
★☆☆Un dé à six faces est truqué. Voici les probabilités de ses faces, sauf une :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | 0,15 | 0,2 | ? | 0,1 | 0,25 | 0,1 |
Calculer la probabilité d'obtenir $3$.
Placer des situations sur l'échelle
★☆☆Placer chaque situation sur une échelle de probabilité graduée de $0$ à $1$.
- A : avec un dé ordinaire, obtenir $0$ ;
- B : tirer une boule rouge dans un sac de $3$ rouges et $1$ noire ;
- C : obtenir « Pile » avec une pièce équilibrée ;
- D : tirer une voyelle dans les lettres du mot « BLOC » ;
- E : avec un dé ordinaire, obtenir un nombre entre $1$ et $6$.
Le distributeur de bonbons
★☆☆Un distributeur contient $40$ bonbons à la fraise et $60$ bonbons à la menthe, bien mélangés. En mettant une pièce, on obtient un bonbon au hasard.
Quelle est la probabilité d'obtenir un bonbon à la fraise ? Donner le résultat sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage.
Pair ou petit avec un dé truqué
★★☆On lance un dé truqué dont voici la loi :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | 0,1 | 0,25 | 0,05 | 0,2 | 0,15 | 0,25 |
- Vérifier que ce tableau est bien une loi de probabilité.
- Calculer la probabilité de l'événement A « obtenir un nombre pair ».
- Calculer la probabilité de l'événement B « obtenir $2$ ou moins ».
Le jeu de 32 cartes
★★☆Un jeu de $32$ cartes contient quatre « couleurs » : cœur ♥ et carreau ♦ (rouges), pique ♠ et trèfle ♣ (noires). Chaque couleur a $8$ cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as.
On tire une carte au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir :
- un cœur ;
- un roi ;
- une carte noire ;
- une figure (valet, dame ou roi).
Le dé à douze faces
★★☆On lance un dé équilibré à $12$ faces numérotées de $1$ à $12$. Calculer la probabilité des événements :
- M : « obtenir un multiple de $3$ » ;
- N : « obtenir un nombre premier » ;
- G : « obtenir un nombre plus grand que $12$ ».
Les lettres de PROBABILITE
★★☆On écrit chaque lettre du mot PROBABILITE sur une tuile. On mélange les tuiles dans un sac et on en tire une au hasard.
- Combien y a-t-il de tuiles ?
- Quelle est la probabilité de tirer la lettre B ? la lettre I ? la lettre T ?
- Quelle est la probabilité de tirer une voyelle ? une consonne ?
Les jetons du mot TRIANGLE
★★☆Huit jetons colorés portent les lettres du mot TRIANGLE. On les met dans un sac et on en tire un au hasard.
Déterminer la probabilité d'obtenir :
- un jeton rouge ;
- un jeton rouge portant une voyelle ;
- un jeton bleu portant une consonne ;
- un jeton vert ou portant une voyelle.
Les trois classes de 4e
★★☆Voici la répartition des élèves de 4e d'un collège :
| 4e A | 4e B | 4e C | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Filles | 14 | 13 | 11 | 38 |
| Garçons | 12 | 15 | 13 | 40 |
| Total | 26 | 28 | 24 | 78 |
- On choisit au hasard un élève de 4e. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
- On choisit au hasard un élève de 4e B. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
- On choisit au hasard une fille de 4e. Quelle est la probabilité qu'elle soit en 4e C ? qu'elle ne soit pas en 4e C ?
La roue aux angles inégaux
★★☆Une roue de loterie est partagée en trois secteurs : rouge ($90^\circ$), bleu ($120^\circ$) et vert ($150^\circ$).
- Calculer la probabilité que la flèche indique chaque couleur.
- Calculer la probabilité de ne pas obtenir le vert.
Un mois avec un R
★★☆On choisit au hasard un mois de l'année. On considère l'événement A : « le nom du mois contient la lettre R ».
- Décrire par une phrase l'événement $\overline{\text{A}}$.
- Quelles issues réalisent $\overline{\text{A}}$ ?
- Calculer $P(\overline{\text{A}})$, puis $P(\text{A})$.
Calculer la probabilité d'un contraire
★☆☆Dans chaque cas, calculer la probabilité de l'événement contraire.
- $P(\text{A}) = 0{,}37$
- $P(\text{B}) = \dfrac{5}{8}$
- $P(\text{C}) = 12\,\%$
- $P(\text{D}) = 1$
Impossible, certain… ou ni l'un ni l'autre ?
★☆☆On lance un dé équilibré à $8$ faces numérotées de $1$ à $8$. Pour chaque événement, dire s'il est impossible, certain ou ni l'un ni l'autre, et donner sa probabilité.
- « Obtenir $0$ »
- « Obtenir un nombre inférieur ou égal à $8$ »
- « Obtenir $9$ »
- « Obtenir un nombre pair »
- « Obtenir un nombre entier »
La boîte de perles
★★☆Une boîte contient $4$ perles vertes, $7$ perles bleues et $5$ perles rouges. On en tire une au hasard.
- Calculer la probabilité de tirer une perle rouge.
- En déduire la probabilité de ne pas tirer une perle rouge, puis vérifier en comptant.
Le sachet de bonbons en bâtons
★★☆Le diagramme indique le nombre de bonbons de chaque couleur dans un sachet opaque. Zoé prend un bonbon au hasard.
- Quelle est la probabilité que le bonbon soit rouge ? Choisir parmi : $10\,\%$ ; $20\,\%$ ; $25\,\%$ ; $50\,\%$.
- Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas violet ?
Bataille navale au hasard
★★☆Voici la grille de bataille navale de Malik ($8 \times 8$ cases). Ses bateaux sont colorés : un porte-avions de $4$ cases, un croiseur de $3$ cases et deux torpilleurs de $2$ cases.
Son adversaire choisit une case au hasard.
- Quelle est la probabilité qu'il touche un bateau ?
- Quelle est la probabilité qu'il tombe « dans l'eau » ?
- Quelle est la probabilité qu'il touche le porte-avions ?
Retrouver le contenu du sac de jetons
★★★Un sac contient $30$ jetons rouges, verts ou noirs. On sait que, si l'on tire un jeton au hasard :
- la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$ ;
- la probabilité qu'il soit vert est $0{,}5$.
- Combien y a-t-il de jetons de chaque couleur ?
- On ajoute $5$ jetons noirs. Quelle est maintenant la probabilité de tirer un jeton noir ?
Ajouter des boules blanches
★★★Une urne contient $50$ boules noires ou blanches. La probabilité de tirer une boule blanche est $\dfrac{2}{5}$.
- Combien l'urne contient-elle de boules blanches ? de boules noires ?
- Combien de boules blanches faut-il ajouter pour avoir une chance sur deux de tirer une boule blanche ?
Le jeu des jetons numérotés
★★★Lina propose un jeu à Sacha : « Dans un sac, je mets $1$ jeton numéro $1$, $2$ jetons numéro $2$, $3$ jetons numéro $3$, $4$ jetons numéro $4$ et $5$ jetons numéro $5$. Tu tires un jeton au hasard. Si son numéro est plus grand que $3$, je gagne ; sinon, c'est toi qui gagnes. »
Ce jeu est-il équitable ? Qui a le plus de chances de gagner ?
La somme de deux dés
★★★On lance deux dés équilibrés à six faces, un bleu et un rouge, et on additionne les deux nombres obtenus.
- Recopier et compléter un tableau à double entrée donnant toutes les sommes possibles.
- Combien y a-t-il d'issues équiprobables ?
- Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $7$, puis égale à $2$.
- Calculer la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à $10$.
- Quelle somme est la plus probable ?
Deux pièces et un arbre
★★★On lance deux fois de suite une pièce équilibrée et on note les faces obtenues (P pour Pile, F pour Face).
- Construire l'arbre de toutes les issues.
- Quelle est la probabilité d'obtenir deux faces identiques ?
- Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois Pile ? (On pourra utiliser l'événement contraire.)
Simuler pour estimer
★★★Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. Un élève simule $1\,000$ tirages (avec remise) sur ordinateur et note le nombre de boules rouges obtenues :
| Nombre de tirages | 20 | 100 | 400 | 1 000 |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de rouges | 15 | 57 | 234 | 604 |
- Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
- Calculer la fréquence de « rouge » pour chaque nombre de tirages.
- Commenter les résultats.
Le programme de la cible
★★★On exécute le script Scratch suivant :
- Quelle est la probabilité de gagner $10$ points ?
- Quelle est la probabilité de gagner $1$ point ?
- Quelle est la probabilité de perdre ?
Le largage sur la zone marécageuse
★★★Un avion largue un colis au hasard sur une zone rectangulaire de $200$ m sur $80$ m. Deux coins de cette zone sont des marécages en forme de triangles rectangles (en bleu). On admet que la probabilité de tomber sur une partie est proportionnelle à son aire.
Quelle est la probabilité que le colis ne tombe pas dans un marécage ?
La poule blanche
★★★Mme Durand possède $70$ poules rousses, $49$ poules noires et $1$ poule blanche. Chaque soir, elle fait rentrer ses poules au hasard dans trois poulaillers A, B et C : il y a toujours $6$ poules dans le poulailler C, et deux fois plus de poules dans B que dans A.
Quelle est la probabilité que, ce soir, la poule blanche dorme dans le poulailler A ?
Les groupes sanguins
★★★Voici la répartition (arrondie) des groupes sanguins dans un pays. On choisit une personne au hasard.
- Calculer de deux façons la probabilité que cette personne ne soit pas du groupe O.
- Dans le groupe O, $15\,\%$ des personnes sont de rhésus négatif (O−) : ce sont les « donneurs universels ». Quelle est la probabilité que la personne choisie soit un donneur universel ? qu'elle n'en soit pas un ?
Prouver la règle « un sur n »
★★★On considère une expérience aléatoire qui a $n$ issues équiprobables. On note $p$ la probabilité de chaque issue.
- Expliquer pourquoi $n \times p = 1$.
- En déduire que $p = \dfrac{1}{n}$.
- Soit A un événement réalisé par $k$ de ces issues. Montrer que $P(\text{A}) = \dfrac{k}{n}$.
Vérifier
Avez-vous bien compris ?
Répondez au quiz : la correction s'affiche immédiatement.